Samkvæmt grein Wikipedia er velgengni í teningaspilinu Yathzee háð leikni eða hæfileikum á þremur sviðum; heppni, kunnáttu í líkindaaðferðum og herkænsku. Ekki er öllum gefið að verða heppnari, ef heppni getur talist til hæfileika á annað borð. En taki menn leikinn alvarlega er mikilvægt að hafa leikáætlun og gott að byggja hana líkindum. Það er gott að hafa það í huga núna í upphafi sumars vilji menn slá vinum og ættingjum ref fyrir rass í sumarbústöðum og á mannamótum á næstunni.

Leikurinn þarfnast ekki útskýringar. Í klassískri útfærslu eru umferðirnar spilaðar í beinni röð og þá ljúka leikmenn næsta lið á leikspjaldinu í hverri umferð. Í öðrum útfærslum er leyfilegt að velja eftir hverja umferð inn á hvaða lið stigum er ráðstafað. Umferðin Áhætta er næst síðasti liðurinn á leikspjaldinu og þar keppast leikmenn við að hámarka stigin sín í þremur köstum. Eftir fyrsta og annað kastið velur leikmaður hvaða teningum hann vill halda en öðrum er kastað aftur. En hvaða tölum á að halda?

Líkindaþéttifall hæstu úkoma í einu, tveimur og þremur köstum.

Myndin hér til hægri sýnir líkindaþéttifall hæstu útkomu þegar teningi er kastað. Rauðu súlurnar tákna líkindi á útkomu í einu kasti. Með fullkomnum teningi eru líkur á sérhverri útkomu jafnar, þ.e. 1/6 eða 0.16667. Líkurnar má einnig tákna í prósentum sem 16,667%.

Þegar teningi er kastað tvisvar sinnum og hærri útkoman er valin aukast líkur á háum útkomum. Grænu súlurnar tákna líkur  á hæstu útkomu þegar teningi er kastað tvisvar. Líkurnar á að hærri úkoman í tveimur köstum sé sex er $$1 – (\frac{5}{6})^2 = 0.30556$$. Líkurnar á að hærri útkoman í tveimur köstum sé jöfn einum er $$(\frac{1}{6})^2 = 0.02778$$. Til þess þurfum við að fá ás í báðum köstum.

Á sama hátt er hægt að reikna líkur á hæstu útkomu í þremur köstum, sem táknaðar eru með bláu súlunum. Líkurnar á því að hæsta úkoman í þremur köstum sé sex er 0,42130. Líkurnar á að fá ás í öllum köstum og að hæsta útkoman sé þar með einn eru 0,00463.

Halda eða kasta?

Þá kemur aftur að leikáætluninni sem var nefnd í upphafi. Hvaða teningum ætti að halda eftir fyrsta kastið? Gildir öðru eftir annað kastið?

Væntigildi útkoma í hverju kasti er reiknað sem meðaltal mögulegra útkoma. Áður en tengingunum er kastað í fyrstu umferð er væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening

$$1\cdot\frac{1}{216}+2\cdot\frac{7}{216}+3\cdot\frac{19}{216}+4\cdot\frac{37}{216}+5\cdot\frac{61}{216}+6\cdot\frac{91}{216}=\frac{1071}{216}=4,9583$$.

Eftir fyrsta kastið eru tvær umferðir eftir og væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening er reiknað á sama hátt og áður

$$1\cdot\frac{1}{36}+2\cdot\frac{3}{36}+3\cdot\frac{5}{36}+4\cdot\frac{7}{36}+5\cdot\frac{9}{36}+6\cdot\frac{11}{36}=\frac{21}{6}=4,4722$$.

Þegar eitt kast er eftir eru jafnar líkur á öllum hliðum og væntigildið er því

$$1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3,5$$.

Niðurstaða

Nú er leikáætlunin valin þannig að væntigildi sé hámarkað í hverri umferð. Niðurstaðan er að eftir fyrstu umferðina ætti leikmaður að halda fimmum og sexum vegna þess að þær eru hærri en 4,4722, sem er vænt útkoma ef kastað væri aftur. Eftir aðra umferð ætti að halda fjörkum, fimmum og sexum vegna þess að vænt útkoma í þriðja kastinu er 3,5.

Rétt er að nefna að aðstæður hverju sinni kunna að réttlæta aukna áhættusækni. Ef vinna þarf upp naumt forskot keppinautar má setja þröskuldinn ofar, jafnvel þótt að lækki væntigildi mögulegra útkoma í leiknum.