Category Archives: Tryggingastærðfræði

Lífslíkur eftir landshlutum

Lífslíkur karla og kvenna á Íslandi byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.

Áður hefur verið vikið að aðferðum við mat á lífslíkum, sem eru forsenda við verðlagningar á líftryggingum og lífeyristryggingum. Á fundi, sem Landsamband lífeyrissjóða og Félag íslenskra tryggingastærðfræðinga stóðu fyrir í síðasta mánuði, spunnust umræður um hvort lífslíkur Íslendinga hefðu verið metnar eftir öðrum breytum en kyni, s.s. starfsstétt sem einstaklingar tilheyra. Það hafði ekki verið kannað að sögn þátttakenda í pallborði og á það var bent að flestir stórir lífeyrissjóðir hafa meðlimi í dreifðum starfsstéttum en fáir sjóðir hafa einsleita samsetningu sjóðsfélaga. Þeirra á meðal lífeyrissjóðir flugmanna, bænda og hjúkrunarfræðinga. Einnig var bent á að sumir lífeyrissjóðir störfuðu á afmörkuðu starfsvæði, t.d. sjóðir Vestfirðinga og Vestmannaeyjinga. Því gætu staðbundin frávik frá meðallífslíkum, sem sjóðirnir eru metnir út frá, haft áhrif á afkomu þessara sjóða.

Lífslíkur karla á Íslandi byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.

Áhugavert er að reikna lífslíkur út frá gögnum Hagstofunnar, sem birtir upplýsingar um dánartíðni og búsetu eftir landsvæðum. Venja er að byggja tryggingafræðiútreikninga á dánartíðni fimm ára en til þess að lækka óvissumörk í þessum útreikningum er stuðst við dánartíðni tíu ára tímabils, frá 2004 til 2013. Taflan hér fyrir neðan sýnir væntan lífaldur eftir kyni og landshluta. Skekkjumörk í útreikningum miða við 95% óvissubil. Rétt er að hnykkja á því að ekki er um að ræða fæðingarstað einstaklinga og ekki er unnt að leiðrétta fyrir áhrifum flutninga milli landshluta sem kunna að vera háðir aldri, heilsufari og búsetu.

Þegar landinu er skipt upp eftir gömlu kjördæmunum auk Suðvesturkjördæmis kemur í ljós að væntur lífaldur karlmanna á Reykjnesi (78,6±1,5 ár), í Reykjavík (78,7±0,6) og á Vestfjörðum (78,8±2,1) er lægri en að landsmeðaltal (79,6±0,4). Hæstur er væntur lífaldur hjá körlum á Suðurlandi (80,7±1,2), í Suðvesturkjördæmi (80,7±0,8) og á Austurlandi (80,5±1,7). Vegna fámennis er ekki hægt að segja að munurinn sé marktækur.

Landshluti	Karlar	±	Konur	±	Mismunur
Landið allt	79,6	0,4	83,1	0,3	3,5
Reykjavík	78,7	0,6	82,7	0,6	4,0
Suðvestur	80,7	0,8	84,0	0,7	3,3
Vesturland	80,0	1,6	83,1	1,5	3,1
Vestfirðir	78,8	2,1	83,7	2,0	4,9
Norðurland vestra	80,3	2,0	84,5	1,9	4,2
Norðurland eystra	79,8	1,1	83,3	1,1	3,4
Austurland	80,5	1,7	83,4	1,8	2,9
Suðurland	80,7	1,2	83,4	1,3	2,8
Reykjanes	78,6	1,5	80,7	1,4	2,1

Lífslíkur kvenna á Íslandi byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild Hagstofa Íslands.

Fyrir konur er væntur lífaldur lægstur á Reykjanesi (80,7±1,4 ár), sem telst vera tölfræðilega marktækur munur. Næst lægstur er lífaldur kvenna í Reykjavík (82,7±0,6), sem er lægra en landsmeðaltal (83,1±0,3). Hæstur er væntur lífaldur kvenna á Norðurlandi vestra (84,5±1,9), í Suðvesturkjördæmi (84,0±0,7) og á Vestfjörðum (83,7±2,0).

Á tímabilinu sem hér er greint frá reyndist væntur lífaldur kvenna að jafnaði 3,5 árum lengri en karla á landinu öllu. Nokkur breytileiki er eftir landshlutum. Þannig er mismunur á væntri ævilengd styst á Reykjanesi (2,1 ár) en lengst á Vestfjörðum (4,9 ár).

Þegar Torfhildur Torfadóttir varð 105 árið 2009 ára vitnaði Morgunblaðið í Kára Stefánsson, forstjóra Íslenskrar erfðagreiningar. Kári sagði að langlífi erfðist á mjög einfaldan hátt og að í ljósi þess hljóti mynstrið að fara nokkuð eftir landshlutum. Útreikningarnir hér koma heim og saman við tilgátu Kára þótt munurinn reynist ekki marktækur í öllum tilfellum.

Leiðrétting 16.12.2014: Í fyrstu útgáfu var sagt að ekki væri marktækur munur á meðalævilengd eftir landshlutum. Rétt er að það er tölfræðilega marktækur munur á meðalævilengd kvenna, sem búsettar eru á Reykjanesi, í samanburði við landið allt. Textinn hefur verið leiðréttur í samræmi við það.

Eitt, tvö eða þrjú vasaljós?

Það komst í fréttirnar í vikunni þegar þremur konum var bjargað úr helli. Í viðtali við Reykjavík síðdegis á Bylgjunni af því tilefni sagði Árni B. Stefánsson, augnlæknir og landskunnur hellakönnuður:

Það er regla hjá hellamönnum að fara aldrei í helli nema með þrjú ljós með sér. … Af því að aðalljósið gæti klikkað og varaljósið gæti klikkað. En það er mjög ólíklegt að þriðja ljósið fari líka. Það er bara líkindareikningur.

Í framhaldinu ræddu útvarspmennirnir svo um búnað, aðstæður í hellaferðum og hverju fljótt göngumenn þreytast í hellum svo eitthvað sé nefnt. Spurningunni um það til hve mikilla bóta það er að bera aukaljós með sér er enn ósvarað.

Uppbygging og áreiðanleiki kerfa

Raðtengt kerfi með tveimur kerfishlutum.

Í greiningu á áreiðanleika þarf að skoða hvern hluta kerfis og uppbyggingu þess. Með raðtengingu kerfishluta er átt við að kerfið virki ef og aðeins ef allir hlutar þess virka. Kerfið á myndinni til hægri er sett saman úr tveimur kerfishlutum, A og B. Það mun aðeins virka á meðan báðir hlutar þess eru í lagi. Þegar annað hvort A eða B bilar þá stoppar kerfið.

Ef við lýsum líftíma hvors hvors kerfishluta um sig með slembibreytunum $$X_A$$ og $$X_B$$ þá er líftími alls kerfisins jafn þeim hluta sem endist skemur, $$R = \min (X_A,X_B)$$.

Samsíða kerfi með tveimur kerfishlutum.

Það er talað um hliðtengt kerfi ef það virkar á meðan einhver hluti þess virkar. Kerfið á myndinni til vinstri er einnig sett samsett úr tveimur hlutum, A og B. Þessari framsetningu er ætlað að tákna að kerfið mun virka á meðan annar hvor hluti þess virkar. Þegar báðir hafa bilað þá hættir kerfið að virka.

Eins og í fyrra dæminu er líftíma hlutanna lýst með slembibreytunum $$X_A$$ og $$X_B$$. Í hliðtengdu kerfi er líftími kerfisins jafn líftíma þess hluta sem dugir lengst, $$S = \max (X_A,X_B)$$.

Kerfi með varakerfi.

Þriðja uppsetningin lýsir kerfi, sem notar A sem aðalkerfi og B er til vara. Í einfaldaðri uppsetningu gerum við ráð fyrir að varakerfið bili ekki á meðan aðalkerfið er í gangi. Táknmyndunum er ætlað að lýsa því að þegar aðalkerfið bilar mun varakerfið taka yfir. Þegar varakerfið bilar þá stoppar kerfið.

Líftími alls kerfisins er jafn summu líftíma hvors hluta um sig, $$T = X_A + X_B$$.

Hve mörg vasaljós?

Þrjú hliðtengd vasaljós.

Gerum ráð fyrir að vasaljós hafi eina rafhlöðu og eina ljósaperu, sem við táknum með bókstöfunum R og L í raðtengdu kerfi. Bæði rafhlaðan og ljósaperan þurfa að vera í lagi svo að vasaljósið lýsi. Gerum svo ráð fyrir að hellakönnuðirnir noti þrjú vasaljós í tveimur ólíkum uppsetningum.

Ef þrír hellakönnuðir nota hver sitt vasaljós getum við táknað kerfið eins og sýnt er á bláu myndinni til vinstri. Við gerum ráð fyrir því að ef ljós eins hellakönnuðar bilar þá sé hann studdur áfram af öðrum í hópnum. Svo lengi sem a.m.k. eitt ljós er í lagi geta hellakönnuðirnir haldið för sinni áfram. Köllum þetta kerfi 1.

Eitt aðalljós og tvö varaljós.

Ef hellakönnuðir nota eitt aðalljós en bera tvö önnur með sér til vara þá getum við táknað kerfið eins og sýnt er á grænu myndinni hérna til hægri. Þegar aðalljósið bilar er gripið til fyrra varaljóssins. Þegar þegar það bilar er seinna varaljósið notað. Þetta er kerfi 2.

Líftími metinn með hermun

Til þess að meta ábatann af því að fjölga vasaljósum notum hermum við mögulegar útkomur og skoðum dreifingarnar. Gerum ráð fyrir að líftími rafhlaða lúti normaldreifingu með meðaltal 5 klukkustundir og staðalfrávik hálfa klukkustund. Látum líftíma ljósapera lúta veldisdreifingu með meðaltal 10 klukkustundir.

Uppsafnaðar líkur líftíma fyrir þrjú kerfi.

Niðurstöður hermunar sýna að eitt vasaljós dugir að meðaltali í 3,9 klst. og þrjú hliðtengd vasaljós í kerfi 1 að meðaltali í 5,1 klst. Líftími kerfis 2 með eitt aðalljós og tvö til vara dugar er að meðaltali í 11,8 klst. Það er u.þ.b. þrefaldur líftími þegar aðeins eitt ljós er notað.

Sér í lagi höfum við áhuga á lágum útkomum af því að það kemur göngumönnum í koll þegar ljósin bila. Í 5% prósent tilfella er líftími eins vasaljóss styttri en hálf klukkustund. Líftími kerfis nr. 1 er í 5% tilfella styttri en 4,1 klst. og 6,5 klst. með kerfi 2.

Áhætta í Yahtzee

Samkvæmt grein Wikipedia er velgengni í teningaspilinu Yathzee háð leikni eða hæfileikum á þremur sviðum; heppni, kunnáttu í líkindaaðferðum og herkænsku. Ekki er öllum gefið að verða heppnari, ef heppni getur talist til hæfileika á annað borð. En taki menn leikinn alvarlega er mikilvægt að hafa leikáætlun og gott að byggja hana líkindum. Það er gott að hafa það í huga núna í upphafi sumars vilji menn slá vinum og ættingjum ref fyrir rass í sumarbústöðum og á mannamótum á næstunni.

Leikurinn þarfnast ekki útskýringar. Í klassískri útfærslu eru umferðirnar spilaðar í beinni röð og þá ljúka leikmenn næsta lið á leikspjaldinu í hverri umferð. Í öðrum útfærslum er leyfilegt að velja eftir hverja umferð inn á hvaða lið stigum er ráðstafað. Umferðin Áhætta er næst síðasti liðurinn á leikspjaldinu og þar keppast leikmenn við að hámarka stigin sín í þremur köstum. Eftir fyrsta og annað kastið velur leikmaður hvaða teningum hann vill halda en öðrum er kastað aftur. En hvaða tölum á að halda?

Líkindaþéttifall hæstu úkoma í einu, tveimur og þremur köstum.

Myndin hér til hægri sýnir líkindaþéttifall hæstu útkomu þegar teningi er kastað. Rauðu súlurnar tákna líkindi á útkomu í einu kasti. Með fullkomnum teningi eru líkur á sérhverri útkomu jafnar, þ.e. 1/6 eða 0.16667. Líkurnar má einnig tákna í prósentum sem 16,667%.

Þegar teningi er kastað tvisvar sinnum og hærri útkoman er valin aukast líkur á háum útkomum. Grænu súlurnar tákna líkur á hæstu útkomu þegar teningi er kastað tvisvar. Líkurnar á að hærri úkoman í tveimur köstum sé sex er $$1 – (\frac{5}{6})^2 = 0.30556$$. Líkurnar á að hærri útkoman í tveimur köstum sé jöfn einum er $$(\frac{1}{6})^2 = 0.02778$$. Til þess þurfum við að fá ás í báðum köstum.

Á sama hátt er hægt að reikna líkur á hæstu útkomu í þremur köstum, sem táknaðar eru með bláu súlunum. Líkurnar á því að hæsta úkoman í þremur köstum sé sex er 0,42130. Líkurnar á að fá ás í öllum köstum og að hæsta útkoman sé þar með einn eru 0,00463.

Halda eða kasta?

Þá kemur aftur að leikáætluninni sem var nefnd í upphafi. Hvaða teningum ætti að halda eftir fyrsta kastið? Gildir öðru eftir annað kastið?

Væntigildi útkoma í hverju kasti er reiknað sem meðaltal mögulegra útkoma. Áður en tengingunum er kastað í fyrstu umferð er væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening

$$1\cdot\frac{1}{216}+2\cdot\frac{7}{216}+3\cdot\frac{19}{216}+4\cdot\frac{37}{216}+5\cdot\frac{61}{216}+6\cdot\frac{91}{216}=\frac{1071}{216}=4,9583$$.

Eftir fyrsta kastið eru tvær umferðir eftir og væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening er reiknað á sama hátt og áður

$$1\cdot\frac{1}{36}+2\cdot\frac{3}{36}+3\cdot\frac{5}{36}+4\cdot\frac{7}{36}+5\cdot\frac{9}{36}+6\cdot\frac{11}{36}=\frac{21}{6}=4,4722$$.

Þegar eitt kast er eftir eru jafnar líkur á öllum hliðum og væntigildið er því

$$1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3,5$$.

Niðurstaða

Nú er leikáætlunin valin þannig að væntigildi sé hámarkað í hverri umferð. Niðurstaðan er að eftir fyrstu umferðina ætti leikmaður að halda fimmum og sexum vegna þess að þær eru hærri en 4,4722, sem er vænt útkoma ef kastað væri aftur. Eftir aðra umferð ætti að halda fjörkum, fimmum og sexum vegna þess að vænt útkoma í þriðja kastinu er 3,5.

Rétt er að nefna að aðstæður hverju sinni kunna að réttlæta aukna áhættusækni. Ef vinna þarf upp naumt forskot keppinautar má setja þröskuldinn ofar, jafnvel þótt að lækki væntigildi mögulegra útkoma í leiknum.

XtraMath

Vefurinn XtraMath.org er gagnlegt tól til að hjálpa börnum að bæta grundvallarfærni í stærðfræði. Foreldrar og forráðamenn geta stofnað aðgang fyrir börn sín og einnig geta kennarar stofnað aðgang fyrir bekkjadeildir sínar. Aðgangur er gjaldfrjáls en vefurinn reiðir sig á frjáls fjárframlög.

Við kynntumst Xtramath í gegnum bekkjarkennara yngri dóttur okkar, sem sendi aðgangslykil heim snemma á skólaárinu. Með því móti geta bæði foreldrar og kennarar fylgst með framgangi nemandans.

Xtramath Report

Á yngsta stigi er læra nemendur grundvallaratriði í samlagningu og þegar á líður er hægt að skipta um áætlun. Eldri börn geta tileinkað sér frádrátt, margföldun og deilingu í sömu umgjörð.

Hver lota skiptist í þrjá eða fleiri hluta þar sem ýmist er rifjað upp eða att kappi við tölvuna í gervi kennarans. Takmarkið er að nemandinn geti svarað án umhugsunar eða með því að telja á fingrum sér.

Xtramath report 2 Í viðmóti foreldra og kennara er hægt að fylgjast með framgangi nemanda og sjá niðurbrot á árangri í sérhverri lotu. Þegar nemanda verður tamt að svara dæmum, sem liggja fyrir hverju sinni, er þyngri spurningum bætt við.

Það er óhætt að mæla með XtraMath.org fyrir foreldra og forráðamenn sem vilja efla stærðfræðikunnáttu barna sinna.

Hvað fékkstu margar gjafir?

Mynd frá mathisfun.com.

Í klassíska jólalaginu The Twelve Day of Christmas er sungið um gjafir sem viðtakanda berast um jólahátíðina frá þeim sem honum ann. Í íslensku útgáfunni nýtur flytjandinn gjafmildi Jónasar í þá þrettán daga, sem jólahátíðin varir. Vafalaust hafa fjölmörg textaafbrigði verið sungin við lagið, s.s. hinn óheflaði flutningur Spírabræðra sem hægt er að finna á netinu.

Fyrst dagin sendi Jónas páfugl. Annan daginn sendi hann páfugl og tvær dúfur og svo koll af kolli. Fjöldi gjafa vex hvern dag og á j-ta degi jóla eru gjafirnar

$$! \sum_{i=1}^{j} i = 1 + 2 + … + (j-1) + j = \frac{j (j+1)}{2}$$

Hvað sendir Jónas margar gjafir yfir jólahátíðina?

Formúluna má leiða út á nokkra vegu eins og John D. Cook gerir grein fyrir á sínu bloggi. Fjöldi gjafa fyrstu n daga jólahátíðarinnar eru

$$!\sum_{j=1}^{n} \frac{j (j+1)}{2}=\frac{n (n+1) (n+2)}{6}$$

Þegar gjafaflóðið varir í 12 daga eru gjafirnar 12 · 13 · 14 / 6 = 364. Í íslensku útgáfunni færir Jónas fimmfaldan hring en í ensku útgáfunni er sungið um fimm gyllta hringi. Ef við skautum fram hjá þessu ósamræmi í þýðingu textans og teljum hringina fimm fáum við út að hinn gjafmildi Jónas færði 13 · 14 · 15 / 6 = 455 gjafir á þrettán dögum.

Actuary.is óskar lesendum gleðilegra jóla!

Áhrif verðbólgu á ólíka neysluhópa

Hagstofa Íslands mælir vísitölu neysluverðs, sem er mælikvarði á verðlag í landinu. Vísitalan er mikilvægur mælikvarði í efnahagslegu tilliti. Með hliðsjón af launaþróun er vísitala neysluverðs notuð til þess að meta hvort kaupmáttur aukist eða dragist saman. Flestum Íslendingum ætti einnig að vera kunnugt að vísitala neysluverðs myndar grunn fyrir verðtryggðar skuldbindingar, t.d. þorra fasteignalána til íbúðareigenda.

Í hverjum mánuði athuga starfsmenn Hagstofunnar verð mörg þúsund vöru- og þjónustuliða, sem mynda grunn vísitölunnar. Þá eru aðrir liðir, s.s. kostnaður húseigenda vegna eigin fasteigna, metnir eftir skilgreindum aðferðum vegna þess að ekki er um eiginleg útgjöld að ræða. Hagstofan birtir niðurstöður á mælingum verðlags einu sinni í mánuði og þá er einnig hægt að skoða þróun sérhverrar undirvísitölu. Stofnunin framkvæmir líka könnun á neyslumynstri landsmanna allt árið til þess að greina í hvaða hlutföllum útgjöldin dreifast á ólíka liði neyslunnar. Einu sinni á ári er vægi liða í vísitölunni endurskoðað til þess að samsetningin endurspegli sem best neyslumynstur landsmanna.

Vísitölunni er þannig ætlað að lýsa kostnaði fjölskyldna og einstaklinga vegna neyslu eins og hún er að jafnaði. Vegna ólíkra breytinga á einstökum undirvísitölum er ekki víst að allir upplifi sömu áhrif af verðbólgunni. Þótt allir uppskeri jafna hlutfallshækkun (eða lækkun þegar svo ber við) á verðtryggðum fasteignalánum er áhugavert að greina hvernig áhrif verðbólgunnar á ólíka neysluhópa, t.d. háð aldri, búsetu og fjölskyldugerð.

Á vef Hagstofu Íslands er hægt að nálgast gildi vísitölu neysluverðs aftur í tímann. Þá er einnig hægt að sækja einstakar undirvísitölur og vægi þeirra eins og það er ákvarðað. Þessu til viðbótar má finna grófa sundurliðun á niðurstöðum neyslukannana sem vikið var að hér að framan. Í þessari greiningu er stuðst við neyslukannanir Hagstofu Íslands til og með ársins 2011, sem er nýjasta könnunin sem aðgengileg er á vefnum. Þar má finna sundurliðun eftir búsetu, heimilisgerð og heimilistekjum. Í eldri neyslukönnun var einnig að finna samsetningu eftir aldri þegar um var að ræða einhleypinga.

Búseta

Í sundurliðun eftir búsetu skiptir Hagstofan landinu í þrjú svæði: höfuðborgarsvæðið, annað þéttbýli og dreifbýli.

Upplifuð verðbólga eftir neyslumynstri háð búsetu. Heimild: Hagstofa Íslands.

Með því að nota vægi sérhvers neysluþáttar flokkað eftir landsvæðum er hægt að reikna áhrif verðbólgunnar eftir búsetu. Hér er átt við áhrif ólíks neyslumynsturs einstaklinga og fjölskyldna m.v. sama verðlag. Þannig er kostnaður fólks á höfuðborgarsvæðinu vegna eigin húsnæðis áætlaður hærra hlutfall af neyslu þess en hjá fólki sem býr utan höfuðborgarsvæðisins. Á móti má nefna að rafmagn og hiti og rekstur ökutækja er hlutfallslega hærri hluti af neyslu hjá fjölskyldum í dreifbýli en á höfuðborgarsvæðinu og í öðru þéttbýli.

Byggt á vægi sérhvers liðar má meta upplifaða verðbólgu, þ.e. áhrif verðbólgu á íbúa þessara svæða m.v. áætlað neyslumynstur. Fyrsta myndin til hægri sýnir áhrif neyslumynsturs á upplifaða verðbólgu fyrir ólík búsetusvæði. Á árunum 2005 til 2007 báru hækkanir á fasteignaverði uppi hækkun vísitölunnar ef frá eru skilin áhrif vegna gengisfalls á árinu 2006. Hækkun fasteignaverðs endurspeglast í vísitöluliðnum reiknuð húsaleiga, sem hefur hærra vægi á höfuðborgarsvæðinu og öðru þéttbýli en í dreifbýli. Áhrifin voru öfug frá 2009 til 2011 þegar reiknuð húsaleiga lækkaði og kostnaður við rekstur ökutækja jókst. Hvort tveggja olli því að upplifuð verðbólga reyndist hærri m.v. neyslumynstur fólks í dreifbýli en annars staðar.

Heimilisgerð

Upplifuð verðbólga eftir neyslumynstri háð heimilisgerð. Heimild: Hagstofa Íslands.

Hagstofan sundurliðar þátttakendur í neyslukönnuninni í fimm flokka eftir heimilisgerð. Flokkarnir eru einhleypir; barnlaus hjón og sambúðarfólk; hjón eða sambúðarfólk með börn; einstæðir foreldrar og önnur heimilisgerð.

Myndin hérna til vinstri sýnir upplifun ólíkra fjölskyldugerða á verðbólgunni.

Mestan tíma er lítill munur áhrifum verðbólgu á ólíkar fjölskyldugerðir. Í september 2013 mældist verbólga 3,9% en þá upplifðu barnlaus hjón 4,4% verðbólgu m.v. sitt neyslumynstur. Muninn má rekja til að þessi hópurinn greiðir hærra hlutfall neyslu sinnar í húsaleigu en aðrir hópar gera. Liðurinn greidd húsaleiga hefur hækkað umfram almennt verðlag að undanförnu og sökum þess reynast áhrifin hærri hjá barnlausum hjónum en öðrum að jafnaði.

Fjölskyldutekjur

Upplifuð verðbólga eftir neyslumynstri háð tekjubilum. Heimild: Hagstofa Íslands.

Að teknu tilliti til fjölskyldutekna er þátttakendum í neyslukönnun Hagstofu Íslands skipt í fjögu tekjubil og meðalneysla hvers bils er sýnd. Myndin hérna til hægri sýnir hvernig sérhver tekjufjórðungur hefur að jafnaði upplifað verðbólguna miðað við sitt neyslumynstur.

Lengstan hluta er lítill munur á upplifaðri verðbólgu eftir því hvaða tekjubili þátttakendur tilheyra. Könnun Hagstofunnar sýnir að fólk í lægsta tekjubili ver að jafnaði tæplega tveimur prósentum í tóbak samanborið við tæplega eitt prósent hjá fólki efsta tekjubilinu. Áhrif verulegra verðhækkana á tóbaki á árinu 2009 leiddu til þess að verðbólguáhrifin á þennan hóp voru 0,4 prósentustigum hærri en hjá fólki í efsta tekjubilinu.

Þá eru einstaklingar og fjölskyldur í fyrsta og öðru tekjubilinu líka ólíklegri til að eiga fasteign og eiga ódýrari fasteignir en þeir sem eru í þriðja og fjórða bilinu. Þeir greiða því hærra hlutfall neyslu sinnar í húsaleigu. Vegna þessa hafa fyrsti og annar tekjufjórðungarnir hafa upplifað um hálfu prósentustigi hærri verðbólgu undanfarið ár en síðastliðnum hinir tekjufjórðungarnir.

Aldur

Upplifuð verðbólga einhleypings eftir aldri. Heimild: Hagstofa Íslands.

Í reglulegum neyslukönnunum Hagstofu Íslands, sem framkvæmdar hafa verið samfellt frá árinu 2000, er ekki að finna sundurliðun eftir aldursbilum. Í eldri könnunum var neysla einhleypinga sundurliðuð eftir aldursbilum.

Við nálgun upplifaðrar verðbólgu eftir aldurbilum er stuðst við neyslumynstur einhleypra í nýjustu neyslukönnun. Hún er sköluð með hlutfallsfrávikum eins og þau voru í könnun Hagstofunnar frá árinu 1995 fyrir þrjú aldursbil: 15-34 ára, 35-54 ára og 55-74 ára. Það ætti að gefa í það minnsta þokkalegt mat á upplifun ólíkra kynslóða á verðbólgunni nú. Niðurstöðurnar eru sýndar á myndinni hérna til hægri.

Fólk í yngri aldurshópunum er ólíklegra til að eiga fasteignir og á ódýrari eignir jafnaði. Af þeim sökum vó hækkun reiknaðrar húsaleigu á árunum 2005 til 2007 meira hjá hinum eldri. Að sömu ástlæðu upplifðu hinir eldri lægri verðbólgu á árunum eftir hrun þegar reiknuð húsaleiga lækkaði. Undanfarin misseri hafa einhleypir á aldrinum 18-34 ára upplifað meiri veriðbólgu vegna hækkunar á greiddri húsaleigu. Á móti kemur að síðastliðið ár hefur reiknuð húsaleiga einnig hækkað, sem vegur meira hjá aldursbilinu 55-74 ára. Að því leyti eru samanlögð áhrif greiddrar og reiknaðrar húsaleigu jöfn í öllum aldursbilum sl. 12 mánuði skv. síðustu mælingu.

Niðurlag

Hér hafa verið raktar helstu niðurstöður um áhrif verðbólgu á ólíka neysluhópa m.v. búsetu, heimilisgerð, heimilistekjum og aldri. Það dregur úr innbyrðis mun að allir hópar neyta í miklum mæli innflutra vara eða eru háðir þjónustuliðum, eru háðar gengi krónunnar.

Einna mestan innbyrðis mun á upplifun verðbólgunnar má rekja til fasteigna, þ.e. greiddrar eða reiknaðrar húsaleigu. Næst á eftir vegur rekstur farartækja. Þá sýndi það sig að skattahækkanir á tóbak höfðu breytileg verðbólguáhrif eftir heimilstekjum.

Huldar skuldir

Vikuritið The Economist gerir fjármál Kaliforníuríkis í Bandaríkjunum að umfjöllunarefni í nýjasta tölublaðinu. Tilefnið er hallarekstur ríkisins, sem nú hyllir fyrir endan á – a.m.k. ef marka skyldi ársreikninga. Í umræðu um fjármál einstakra fylkja Bandaríkjanna hefur Kaliforníuríki áður verið líkt við stöðu Grikklands í samanburði við önnur ríki Evrópu. Blaðið beinir sjónum sínum að skuldum Kaliforníu og sér í lagi að lífeyrisskuldbindingum. Þær eru sagðar að hluta vanmetnar miðað við reikningsskilareglur sem giltu ef um einkafyrirtæki væri að ræða.

Í leiðara blaðsins eru lífeyriskerfi ríkja Bandaríkjanna, sem svipað er ástatt með, gerð að umtalsefni. Þar kemur fram að í mörgum ríkjum skorti verulega á að til séu sjóðir til þess að mæta áföllnum skuldbindingum. Þá séu enn að falla á kerfin skuldbindingar, sem fyrirsjáanlega munu kosta skattgreiðendur meira en áætlað núvirði þeirra núna segir til um. Ritstjórn The Economist segir að stjórmálamenn hafi fyrir löngu áttað sig á hagkvæmi þess að bjóða opinberum starfsmönnum góð eftirlaunakjör. Það tryggi þeim atkvæði en reikninginn þurfi ekki að senda fyrr en síðar.

Lífeyriskerfi skiptast almennt í tvo flokka; kerfi með föst skilgreind réttindi sjóðsfélaga (defined benefit) og kerfi með fast skilgreint sparnaðarhlutfall (defined contribution). Í fyrrnefnda flokknum eru lífeyrisréttindi fest við tiltekið hlutfall ævilauna og taka þá oftast mið af launum síðustu ára starfsævinnar. Með skilgreindu sparnaðarhlutfalli er um að ræða sjóðssöfnun en ávöxtun ræður á endanum útgreiðslum, sem sjóðsfélagi nýtur.

Það er rakið í nokkrum liðum hver meginvandi ríkjanna sé vegna lífeyrisskuldbindinga, sem tryggja föst réttindi. Sum ríki leyfi starfsmönnum að hámarka laun t.d. með yfirvinnu á lokaárum starfsævinnar og það auki greiðslur til þeirra eftir að taka eftirlauna hefst. Þá séu skuldbindingar ríkjanna núvirtar með æði hárri ávöxtunarkröfu, sem sjóðum þeirra er ætla að ná. Nefnd er vænt ávöxtunarkrafa upp á 7,5% en á síðustu misserum hefur krafa langra ríkisskuldabréfa bandaríska ríkisins nálgast tvö prósentustig. Hærri ávöxtunarkrafa þýðir að núvirði framtíðargreiðslna sé áætlað lægra en ella. Einkafyrirtæki núvirða skuldbindingar sínar með 4,7% ávöxtunarkröfu, sé miðað við miðgildi, og mörg hver hafa lokað sínum kerfum með föst skildgreind réttindi fyrir nýjum sjóðsfélögum.

Leiðarahöfundar nefna að matsfyrirtæki eins og Moody’s séu farin að nota markaðskröfu vegna lífeyrisskuldbindinga við mat á greiðsluhæfi einstakra ríkja Bandaríkjanna. Nefnd eru dæmi um ríki sem vantar hvað mest upp á að eigi sjóði til þess að mæta lífeyrisgreiðslum. Eftirlaunasjóður Illinois-ríkis eigi t.a.m. um 40% til að mæta áföllnum skuldbindingum og New Jersey 53%. Auknar lífslíkur leiða sömuleiðis til aukinna skuldbindinga. Nefnt er að CalSTR, eftirlaunasjóður kennara, þurfi árlega meðgjöf Kaliforníuríkis upp á 4,5 milljarða Bandaríkjadala næstu 30 árin. Bara sú fjárhæð er hærri en áætlaður afgangur þessa árs.

Höfundar klikkja út með því að tími sé til að breyta og hætta að bjóða eftirlaun, sem taki mið af lokalaunum. Eftirlaunasjóðir verði á endanum þurrausnir og þurfi skattgreiðendur að greiða það sem út af muni standa.

Flökt

Af og til berast fréttir og frásagnir af flökti á verðbréfa- eða gjaldeyrismörkum. Stundum verður tíðindamönnum á orði að flökt hafi lækkað eða að það hafi hækkað. Þá er jafnvel bryddað upp á því að slá mælikvarða á flöktið og að það mælist núna fimmtán eða fimmtíu prósent. En hvað þýðir það?

Flökt (volatility) er mælikvarði á sveiflur í verði verðbréfs eða gengi gjaldmiðils. Þegar óvissa ríkir á fjármálamörkuðum og umrót geysar eru verðbreytingar tíðari og meiri og flökt mælist hærra. Í rólegra árferði mælst flökt lægra. Flökt er ekki beinn mælikvarði á virði verðbréfs en óbeint getur það haft áhrif á verð þess. Mikið flökt kann þannig að draga úr fýsileika þess að eiga tiltekið verðbréf svo að fjárfestar halda að sér höndum. Það kann þannig að draga úr verðhækkunum eða leiða til lækkunar. Aftur á móti er flökt einn af þeim þáttum, sem beinlínis ráða verðlagningu afleiða á undirliggjandi verðbréf eða gjaldmiðlakross. Að því verður kannski vikið síðar.

Einfalt er að reikna ávöxtun sem hlutfallsbreytingu á verði bréfs eða gjaldmiðlakross frá upphafsdegi til lokadags. Ávöxtun má líka t.d. reikna sem meðaltal hlutfallsbreytingar verðs pr. viðskiptadag yfir lengra tímabil. Til þess að bera ekki saman epli og appelsínur ef verðathuganir eru með mismunandi tíðni er hægt að staðla framsetninguna og miða við fasta tímalengd, yfirleitt ársávöxtun eða ávöxtun á ársgrunni. Ávöxtun er þannig fyrstu gráðu (first order) tölfræðimæling á breytingu á verði verðbréfs eða gengi gjaldmiðils.

Á sama hátt er flökt annarar gráðu (second order) tölfræðimæling á verðbreytingum verðbréfs eða gengi gjaldmiðils. Flökt er mælt sem staðalfrávik hlutfallsbreytingar á verði, t.d. milli daga, vikna eða mánaða. Til að staðla mælieininguna á sama hátt og fyrr er yfirleitt miðað við flökt á ársgrunni eða ársflökt (annual volatility). Yfirleitt er ekki verið að flækja frásögnina um of og bara talað um flökt, sem kann á móti að þykja óljóst. Í afleiðuviðskiptum er einnig talað um fólgið flökt (implied volatility). Það er ekki eiginleg mæling á flökti heldur það flökt sem verðlagning afurðar endurspeglar.

Gengisvísitala íslensku krónunnar (efri) og hlutfallsbreytingar pr. dag (neðri)

Myndin hérna til hægri sýnir gengisvísitölu íslensku krónunnar nokkur síðustu ár. Gögnin eru fengin frá Seðlanka Íslands. Efra ritið sýnir gildi vísitölunnar en það neðra sýnir dagsbreytingar vísitölunnar. Í útreikningum sem þessum notum við mismunaröð af lógariþma verðsins frá einum tímapunkti til annars. Fyrir litlar verðbreytingar mismunur lógariþmaraðarinnar nokkurn vegin jafnt hlutfallsbreytingu verðsins frá einum degi til annars skv. hefðbundnum prósentuútreikningi.

Fimm sinnum árið 2008 voru dagsbreytingar yfir 8 prósentustig til hækkunar eða lækkunar sem eru klippt ofan eða neðn af myndritinu. Af útslaginu á neðri myndinni má sjá að tíðni stærri útslaga jókst eftir því sem leið á árið 2005 og á árinu 2006 voru allsnarpar breytingar þegar gengi krónunnar lækkaði. Eftir það lækkaði flöktið aftur. Í aðdraganda bankahrunsins jókst flöktið en eðlilega dró úr sveiflunum þegar gjaldeyrishöftum var komið á. Frá ársbyrjun 2012 hefur hefur flöktið heldur aukist.

Flökt á gengisvísitölu íslensku krónunnar reiknað með jöfnu vægi (efri) og veldisvogum (neðri)

Á myndinni til vinstri hefur flökt (ársflökt) verið reiknað með nokkrum ólíkum aðferðum út frá dagsbreytingum, sem sýndar voru á fyrri mynd. Á efri myndinni eru notaðar þrjár aðferðir hlaupandi glugga með jafnt vægi. Rauði ferillinn lýsir reiknuðu flökti út frá dagsbreytingum næstliðins árs og öll sýni hafa jafnt vægi. Með græna ferlinum hefur glugginn verið styttur niður í 6 mánuði og augljóst að áhrif snarpra hreyfinga vara skemur. Blái ferillinn notar þriggja mánaða tímabil. Of stór gluggi og jafnt vægi getur þannig ýkt áhrif flökts lengur en raunverulegur órói varir á markaði.

Á neðri myndinni er flökt reiknað miðað við sömu gluggastærðir en sýnum er gefið ólíkt vægi. Breyting frá fyrri viðskiptadegi hefur mest vægi en en elstu sýnin vega minnst (veldisvigtun). Miklar breytingar á gengisvísitölu leiða til yfirskots samanborið við aðferð með jöfnu vægi allra sýna. Ferlarnr sýna nokkuð jafna niðurstöðu óháð gluggalengd. Samkvæmt myndunum mælist flökt íslensku krónunnar nú um 8% eftir því hvaða aðferð og gluggastærð beitt er við útreikningana.

Besta starfið árið 2013

Vefsíðan CareerCast.com hefur valið tryggingastærðfræði besta starfssviðið í Bandaríkjunum árið 2013. Frá þessu var m.a. greint á vef Wall Street Journal í vikunni. Valið tekur til fimm mælikvarða sem innifela starfsviðveru, vinnuumhverfi, tekjur, vinnuálag og atvinnuhorfur. Fast á hæla tryggingastærðfræðinga koma lífeindaverkfræðingar og hugbúnaðarverkfræðingar. Heildarlistann yfir 200 störf, sem vefsíðan mat, er að finna hérna.

Vilji lesendur fræðast um námsleiðir í tryggingastærðfræði er bæði ljúft og skylt að benda á tryggingstærfræðideild University of Wisconsin-Madison. Þá heldur Society of Actuaries, annað tveggja fagfélaga tryggingstærðfræðinga í Bandaríkjunum, úti lista yfir námsframboð á heimasíðu sinni. Sameiginlega halda fagfélögin úti vefsíðunni beanactuary.org með gagnlegum upplýsingum um námsleiðir og réttindapróf í Bandaríkjunum. Áhugasamir ættu ekki að hika við að hafa samband við síðuhöfund ef spurningar vakna.

Forði lífeyristryggingar

Hér var fjallað um áhrif lengri lífaldurs á iðgjöld lífeyristrygginga sem duga til þess að standa undir greiðslum til eftirlaunaþega þegar lífeyrisaldri er náð. Í dæminu er miðað við að iðgjöld séu greidd í lífeyrissjóð frá 27 ára aldri til 67 ára aldurs þegar taka lífeyris, sem nemur 76% af launum, hefst. Í fyrri færslu voru bornar saman dánarlíkur sérhvers fimm ára tímabils frá 1970 til 2010 til þess að meta áhrif hækkaðs lífaldurs á iðgjöld. Dæmið er einfaldað og ekki er gert ráð fyrir öðrum bótum úr kerfinu auk þess sem kostnaði er sleppt.

Miðað við dánarlíkur áranna 2006 til 2010 þyrftu karlar að leggja fyrir 10% launa sinna en konur 11,3% til þess að kerfið geti staðið undir greiðslum eins og lagt er upp með. Niðurstöðurnar byggja á dánartíðni karla og kvenna skv. upplýsingum frá Hagstofu Íslands. Gert er ráð fyrir 3,5% raunávöxtun í dæminu.

Forði lífeyristryggingar m.v. inngreiðslur á árunum 27 til 67 ára og útgreiðslur eftir það. Byggt á dánarlíkum 2006-2010.

Forði lífeyristryggingar m.v. inngreiðslur á árunum frá 27 til 67 ára aldri og útgreiðslur eftir það. Byggt á dánarlíkum 2006-2010 skv. Hagstofu Íslands.

Út frá þessum niðurstöðum má svo reikna út forða (reserve), sem þarf að vera til staðar á hverjum tíma svo tryggja megi greiðslur í samræmi við forsendur dæmisins, að því gefnu að einstaklingur nái þeim aldri. Forðinn táknar með öðrum orðum þær eignir, sem byggjast upp og ávaxtast í sjóðnum á meðan greiðslur iðgjalda standa yfir. Eftir að taka lífeyris hefst lækkar forðinn og fer niður í núll frá og með hæsta mögulega lífaldri, sem útreikningarnir gera ráð fyrir.

Myndin til hægri sýnir hvernig forðinn hækkar með veldisvexti frá upphafi greiðslna þar til 67 ára aldri er náð. Fyrir konur þarf forðinn að samsvara ríflega tíföldum árslaunum við 67 ára aldur en tæplega tíföldum árslaunum fyrir karla. Muninn má rekja til hærri lífaldurs kvenna en karla að jafnaði. Það er ögn einföldun að láta 100 ár vera takmarkandi aldur en það breytir lögun ferilsins ekki í meginatriðum.

Hagur

tryggingastærðfræði og slembin innskot