Í gær kom út nýtt eintak Fjármála, vefrits Fjármálaeftirlitsins. Meðal efnis að þessu sinni er umfjöllun síðuhöfundar um áhrif nýrra líftaflna á skuldbindingar lífeyrissjóða. Þá er grein um fyrirhugaðar breytingar á löggjöf um vátryggingamarkaði eftir Sigurð Frey Jónatansson, tryggingastærðfræðing. Frétt Fjármálaeftirlitsins um útgáfuna má finna hér.
Félag íslenskra tryggingastærðfræðinga boðar til opins fundar miðvikudaginn 14. október nk. frá kl. 8:30 til 10:00. Fundurinn fer fram í húsakynnum Arion banka í Borgartúni 19. Sjá nánari umfjöllun á vef Félags íslenskra tryggingastærðfræðinga.
Fundurinn er öllum opinn og aðgangur er ókeypis.
Hlutfallsbreyting fasteignamats 2015 til 2016. Heimild: Þjóðskrá Íslands, skra.is
Þjóðskrá Íslands birti fasteignamat fyrir árið 2016 nú í vikunni. Samkvæmt fréttatilkynningu hækkar heildarmat fasteigna um 5,8% frá því sem nú er. Fasteignamatið myndar stofn fasteignagjalda á næsta ári.
Íbúðir í fjölbýli hækka meira en sérbýli og breytingin er mismikil eftir hverfum á höfuðborgarsvæðinu. Mest er hækkunin miðsvæðis en minni hækkun er á jaðrinum. Til glöggvunar er hlutfallsbreyting allra eigna á höfuðborgarsvæðinu frá 2015 til 2016 sýnd á meðfylgjandi korti. Grænn litur táknar fasteignir þar sem mat Þjóðskrár hækkar á milli ára en rauður litur táknar lækkun. Hægt er að þysja inn til að sjá einstaka borgarhluta í hærri upplausn. Gögnin eru fengin frá Þjóðskrá Íslands.
Í síðasta innleggi voru bornar saman lífslíkur eftir búsetu. Þar kom fram að meðalævilengd karla á Suðurlandi og i Suðvesturkjördæmi er lengri en hjá körlum í öðrum landshlutum. Konur á Norðurlandi vestra lifa að jafnaði lengur en aðrar konur á Íslandi. Útreikningarnir byggja á opinberum upplýsingum frá Hagstofu Íslands um dánartíðni og búsetu. Hér er stuðst við 10 ára tímabil frá 2003 til 2014 til að lækka óvissumörk.
Samkvæmt gögnunum má einnig reikna að meðalævi bæði karla og kvenna er styst á Reykjanesi. Miðað við 95% óvissumörk reynist vera marktækur munur á meðlævilengd kvenna á Reykjanesi og kvenna á landinu öllu. Munurinn er ekki tölfræðilega marktækur fyrir karla suður með sjó.
Lífslíkur karla og kvenna á Íslandi við 65 ára aldur byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.
Með sömu aðferð er hægt að reikna meðalævilengd á hverju aldursári. Áhugavert er að skoða lífslíkur við starfslok. Með meðalævilengd við 65 ára aldur er átt við sk. skilyrt líkindi og útreikningarnir miða aðeins við þá sem ná þeim aldri.
Samkvæmt gögnum Hagstofu Íslands má sjá að karlar eiga að jafnaði 18,2 ár ólifuð við 65 ára aldur en konur 20,6 ár. Myndin hér til hægri sýnir lífslíkur karla og kvenna á Íslandi við 65 ára aldur.
| Landshluti | Karlar | ± | Konur | ± | Mismunur |
|---|---|---|---|---|---|
| Landið allt | 18,2 | 0,2 | 20,6 | 0,3 | 2,4 |
| Reykjavík | 17,8 | 0,4 | 20,5 | 0,4 | 2,7 |
| Suðvestur | 18,8 | 0,5 | 21,0 | 0,6 | 2,2 |
| Vesturland | 18,2 | 1,1 | 20,2 | 1,1 | 2,0 |
| Vestfirðir | 17,7 | 1,4 | 20,4 | 1,5 | 2,8 |
| Norðurland vestra | 18,5 | 1,3 | 21,1 | 1,5 | 2,7 |
| Norðurland eystra | 18,1 | 0,7 | 20,6 | 0,8 | 2,5 |
| Austurland | 18,5 | 1,2 | 20,6 | 1,3 | 2,1 |
| Suðurland | 18,6 | 0,9 | 20,7 | 0,9 | 2,1 |
| Reykjanes | 17,7 | 1,1 | 18,4 | 1,1 | 0,7 |
Lífslíkur kvenna á Íslandi við 65 ára aldur byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.
Röð landshluta í samanburði á meðalævilengd við 65 ára aldur er lítið frábrugðin meðalævilengd nýbura, sem fjallað var um í síðustu færslu. Meðalævi kvenna við 65 ára aldur er lengst á Norðurlandi vestra. Þar geta konur vænst þess að lifa 21,1 ár (±1,5) til viðbótar en munurinn er ekki tölfræðilega marktækur.
Konur, sem náð hafa 65 ára aldri og búa á Reykjanesi, geta vænst þess að lifa í 18,4 ár (±1,1) til viðbótar. Það telst vera tölfræðilega marktækur munur miðað við meðalævi allra kvenna á Íslandi, sem náð hafa 65 ára aldri.
Myndin hérna til vinstri sýnir lífslíkur kvenna við 65 ára aldur. Rauða línan lýsir meðaltali alls landsins en fjólubláa línan sýnir lífslíkur kvenna á Reykjanesi og brúna línan táknar Norðurland vestra. Brotastrikin tákna 95% öryggismörk.
Lífslíkur karla á Íslandi við 65 ára aldur byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.
Myndin hérna til hægri sýnir lífslíkur karla á Íslandi. Bláa línan táknar meðaltal á öllu landinu, græna línan lífslíkur karla á Reykjanesi og sú appelsínugula karla í Suðvesturkjördæmi
Lífslíkur 65 ára karla, sem búa í Suðvesturkjördæmi, eru 18,8 ár (±0,5) og lífslíkur karla á Reykjanesi eru 17,7 ár (±1,1). Þessi munur telst þó ekki vera tölfræðilega marktækur.
Þeir sem misstu af síðasta innleggi um meðalævilengd nýbura geta lesið meira hér.
Lífslíkur karla og kvenna á Íslandi byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.
Áður hefur verið vikið að aðferðum við mat á lífslíkum, sem eru forsenda við verðlagningar á líftryggingum og lífeyristryggingum. Á fundi, sem Landsamband lífeyrissjóða og Félag íslenskra tryggingastærðfræðinga stóðu fyrir í síðasta mánuði, spunnust umræður um hvort lífslíkur Íslendinga hefðu verið metnar eftir öðrum breytum en kyni, s.s. starfsstétt sem einstaklingar tilheyra. Það hafði ekki verið kannað að sögn þátttakenda í pallborði og á það var bent að flestir stórir lífeyrissjóðir hafa meðlimi í dreifðum starfsstéttum en fáir sjóðir hafa einsleita samsetningu sjóðsfélaga. Þeirra á meðal lífeyrissjóðir flugmanna, bænda og hjúkrunarfræðinga. Einnig var bent á að sumir lífeyrissjóðir störfuðu á afmörkuðu starfsvæði, t.d. sjóðir Vestfirðinga og Vestmannaeyjinga. Því gætu staðbundin frávik frá meðallífslíkum, sem sjóðirnir eru metnir út frá, haft áhrif á afkomu þessara sjóða.
Lífslíkur karla á Íslandi byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild: Hagstofa Íslands.
Áhugavert er að reikna lífslíkur út frá gögnum Hagstofunnar, sem birtir upplýsingar um dánartíðni og búsetu eftir landsvæðum. Venja er að byggja tryggingafræðiútreikninga á dánartíðni fimm ára en til þess að lækka óvissumörk í þessum útreikningum er stuðst við dánartíðni tíu ára tímabils, frá 2004 til 2013. Taflan hér fyrir neðan sýnir væntan lífaldur eftir kyni og landshluta. Skekkjumörk í útreikningum miða við 95% óvissubil. Rétt er að hnykkja á því að ekki er um að ræða fæðingarstað einstaklinga og ekki er unnt að leiðrétta fyrir áhrifum flutninga milli landshluta sem kunna að vera háðir aldri, heilsufari og búsetu.
Þegar landinu er skipt upp eftir gömlu kjördæmunum auk Suðvesturkjördæmis kemur í ljós að væntur lífaldur karlmanna á Reykjnesi (78,6±1,5 ár), í Reykjavík (78,7±0,6) og á Vestfjörðum (78,8±2,1) er lægri en að landsmeðaltal (79,6±0,4). Hæstur er væntur lífaldur hjá körlum á Suðurlandi (80,7±1,2), í Suðvesturkjördæmi (80,7±0,8) og á Austurlandi (80,5±1,7). Vegna fámennis er ekki hægt að segja að munurinn sé marktækur.
| Landshluti | Karlar | ± | Konur | ± | Mismunur |
|---|---|---|---|---|---|
| Landið allt | 79,6 | 0,4 | 83,1 | 0,3 | 3,5 |
| Reykjavík | 78,7 | 0,6 | 82,7 | 0,6 | 4,0 |
| Suðvestur | 80,7 | 0,8 | 84,0 | 0,7 | 3,3 |
| Vesturland | 80,0 | 1,6 | 83,1 | 1,5 | 3,1 |
| Vestfirðir | 78,8 | 2,1 | 83,7 | 2,0 | 4,9 |
| Norðurland vestra | 80,3 | 2,0 | 84,5 | 1,9 | 4,2 |
| Norðurland eystra | 79,8 | 1,1 | 83,3 | 1,1 | 3,4 |
| Austurland | 80,5 | 1,7 | 83,4 | 1,8 | 2,9 |
| Suðurland | 80,7 | 1,2 | 83,4 | 1,3 | 2,8 |
| Reykjanes | 78,6 | 1,5 | 80,7 | 1,4 | 2,1 |
Lífslíkur kvenna á Íslandi byggt á dánartíðni áranna 2004 til 2013. Heimild Hagstofa Íslands.
Fyrir konur er væntur lífaldur lægstur á Reykjanesi (80,7±1,4 ár), sem telst vera tölfræðilega marktækur munur. Næst lægstur er lífaldur kvenna í Reykjavík (82,7±0,6), sem er lægra en landsmeðaltal (83,1±0,3). Hæstur er væntur lífaldur kvenna á Norðurlandi vestra (84,5±1,9), í Suðvesturkjördæmi (84,0±0,7) og á Vestfjörðum (83,7±2,0).
Á tímabilinu sem hér er greint frá reyndist væntur lífaldur kvenna að jafnaði 3,5 árum lengri en karla á landinu öllu. Nokkur breytileiki er eftir landshlutum. Þannig er mismunur á væntri ævilengd styst á Reykjanesi (2,1 ár) en lengst á Vestfjörðum (4,9 ár).
Þegar Torfhildur Torfadóttir varð 105 árið 2009 ára vitnaði Morgunblaðið í Kára Stefánsson, forstjóra Íslenskrar erfðagreiningar. Kári sagði að langlífi erfðist á mjög einfaldan hátt og að í ljósi þess hljóti mynstrið að fara nokkuð eftir landshlutum. Útreikningarnir hér koma heim og saman við tilgátu Kára þótt munurinn reynist ekki marktækur í öllum tilfellum.
Leiðrétting 16.12.2014: Í fyrstu útgáfu var sagt að ekki væri marktækur munur á meðalævilengd eftir landshlutum. Rétt er að það er tölfræðilega marktækur munur á meðalævilengd kvenna, sem búsettar eru á Reykjanesi, í samanburði við landið allt. Textinn hefur verið leiðréttur í samræmi við það.
Það komst í fréttirnar í vikunni þegar þremur konum var bjargað úr helli. Í viðtali við Reykjavík síðdegis á Bylgjunni af því tilefni sagði Árni B. Stefánsson, augnlæknir og landskunnur hellakönnuður:
Það er regla hjá hellamönnum að fara aldrei í helli nema með þrjú ljós með sér. … Af því að aðalljósið gæti klikkað og varaljósið gæti klikkað. En það er mjög ólíklegt að þriðja ljósið fari líka. Það er bara líkindareikningur.
Í framhaldinu ræddu útvarspmennirnir svo um búnað, aðstæður í hellaferðum og hverju fljótt göngumenn þreytast í hellum svo eitthvað sé nefnt. Spurningunni um það til hve mikilla bóta það er að bera aukaljós með sér er enn ósvarað.
Raðtengt kerfi með tveimur kerfishlutum.
Í greiningu á áreiðanleika þarf að skoða hvern hluta kerfis og uppbyggingu þess. Með raðtengingu kerfishluta er átt við að kerfið virki ef og aðeins ef allir hlutar þess virka. Kerfið á myndinni til hægri er sett saman úr tveimur kerfishlutum, A og B. Það mun aðeins virka á meðan báðir hlutar þess eru í lagi. Þegar annað hvort A eða B bilar þá stoppar kerfið.
Ef við lýsum líftíma hvors hvors kerfishluta um sig með slembibreytunum $$X_A$$ og $$X_B$$ þá er líftími alls kerfisins jafn þeim hluta sem endist skemur, $$R = \min (X_A,X_B)$$.
Samsíða kerfi með tveimur kerfishlutum.
Það er talað um hliðtengt kerfi ef það virkar á meðan einhver hluti þess virkar. Kerfið á myndinni til vinstri er einnig sett samsett úr tveimur hlutum, A og B. Þessari framsetningu er ætlað að tákna að kerfið mun virka á meðan annar hvor hluti þess virkar. Þegar báðir hafa bilað þá hættir kerfið að virka.
Eins og í fyrra dæminu er líftíma hlutanna lýst með slembibreytunum $$X_A$$ og $$X_B$$. Í hliðtengdu kerfi er líftími kerfisins jafn líftíma þess hluta sem dugir lengst, $$S = \max (X_A,X_B)$$.
Kerfi með varakerfi.
Þriðja uppsetningin lýsir kerfi, sem notar A sem aðalkerfi og B er til vara. Í einfaldaðri uppsetningu gerum við ráð fyrir að varakerfið bili ekki á meðan aðalkerfið er í gangi. Táknmyndunum er ætlað að lýsa því að þegar aðalkerfið bilar mun varakerfið taka yfir. Þegar varakerfið bilar þá stoppar kerfið.
Líftími alls kerfisins er jafn summu líftíma hvors hluta um sig, $$T = X_A + X_B$$.
Þrjú hliðtengd vasaljós.
Gerum ráð fyrir að vasaljós hafi eina rafhlöðu og eina ljósaperu, sem við táknum með bókstöfunum R og L í raðtengdu kerfi. Bæði rafhlaðan og ljósaperan þurfa að vera í lagi svo að vasaljósið lýsi. Gerum svo ráð fyrir að hellakönnuðirnir noti þrjú vasaljós í tveimur ólíkum uppsetningum.
Ef þrír hellakönnuðir nota hver sitt vasaljós getum við táknað kerfið eins og sýnt er á bláu myndinni til vinstri. Við gerum ráð fyrir því að ef ljós eins hellakönnuðar bilar þá sé hann studdur áfram af öðrum í hópnum. Svo lengi sem a.m.k. eitt ljós er í lagi geta hellakönnuðirnir haldið för sinni áfram. Köllum þetta kerfi 1.
Eitt aðalljós og tvö varaljós.
Ef hellakönnuðir nota eitt aðalljós en bera tvö önnur með sér til vara þá getum við táknað kerfið eins og sýnt er á grænu myndinni hérna til hægri. Þegar aðalljósið bilar er gripið til fyrra varaljóssins. Þegar þegar það bilar er seinna varaljósið notað. Þetta er kerfi 2.
Til þess að meta ábatann af því að fjölga vasaljósum notum hermum við mögulegar útkomur og skoðum dreifingarnar. Gerum ráð fyrir að líftími rafhlaða lúti normaldreifingu með meðaltal 5 klukkustundir og staðalfrávik hálfa klukkustund. Látum líftíma ljósapera lúta veldisdreifingu með meðaltal 10 klukkustundir.
Uppsafnaðar líkur líftíma fyrir þrjú kerfi.
Niðurstöður hermunar sýna að eitt vasaljós dugir að meðaltali í 3,9 klst. og þrjú hliðtengd vasaljós í kerfi 1 að meðaltali í 5,1 klst. Líftími kerfis 2 með eitt aðalljós og tvö til vara dugar er að meðaltali í 11,8 klst. Það er u.þ.b. þrefaldur líftími þegar aðeins eitt ljós er notað.
Sér í lagi höfum við áhuga á lágum útkomum af því að það kemur göngumönnum í koll þegar ljósin bila. Í 5% prósent tilfella er líftími eins vasaljóss styttri en hálf klukkustund. Líftími kerfis nr. 1 er í 5% tilfella styttri en 4,1 klst. og 6,5 klst. með kerfi 2.
Samkvæmt grein Wikipedia er velgengni í teningaspilinu Yathzee háð leikni eða hæfileikum á þremur sviðum; heppni, kunnáttu í líkindaaðferðum og herkænsku. Ekki er öllum gefið að verða heppnari, ef heppni getur talist til hæfileika á annað borð. En taki menn leikinn alvarlega er mikilvægt að hafa leikáætlun og gott að byggja hana líkindum. Það er gott að hafa það í huga núna í upphafi sumars vilji menn slá vinum og ættingjum ref fyrir rass í sumarbústöðum og á mannamótum á næstunni.
Leikurinn þarfnast ekki útskýringar. Í klassískri útfærslu eru umferðirnar spilaðar í beinni röð og þá ljúka leikmenn næsta lið á leikspjaldinu í hverri umferð. Í öðrum útfærslum er leyfilegt að velja eftir hverja umferð inn á hvaða lið stigum er ráðstafað. Umferðin Áhætta er næst síðasti liðurinn á leikspjaldinu og þar keppast leikmenn við að hámarka stigin sín í þremur köstum. Eftir fyrsta og annað kastið velur leikmaður hvaða teningum hann vill halda en öðrum er kastað aftur. En hvaða tölum á að halda?
Líkindaþéttifall hæstu úkoma í einu, tveimur og þremur köstum.
Myndin hér til hægri sýnir líkindaþéttifall hæstu útkomu þegar teningi er kastað. Rauðu súlurnar tákna líkindi á útkomu í einu kasti. Með fullkomnum teningi eru líkur á sérhverri útkomu jafnar, þ.e. 1/6 eða 0.16667. Líkurnar má einnig tákna í prósentum sem 16,667%.
Þegar teningi er kastað tvisvar sinnum og hærri útkoman er valin aukast líkur á háum útkomum. Grænu súlurnar tákna líkur á hæstu útkomu þegar teningi er kastað tvisvar. Líkurnar á að hærri úkoman í tveimur köstum sé sex er $$1 – (\frac{5}{6})^2 = 0.30556$$. Líkurnar á að hærri útkoman í tveimur köstum sé jöfn einum er $$(\frac{1}{6})^2 = 0.02778$$. Til þess þurfum við að fá ás í báðum köstum.
Á sama hátt er hægt að reikna líkur á hæstu útkomu í þremur köstum, sem táknaðar eru með bláu súlunum. Líkurnar á því að hæsta úkoman í þremur köstum sé sex er 0,42130. Líkurnar á að fá ás í öllum köstum og að hæsta útkoman sé þar með einn eru 0,00463.
Þá kemur aftur að leikáætluninni sem var nefnd í upphafi. Hvaða teningum ætti að halda eftir fyrsta kastið? Gildir öðru eftir annað kastið?
Væntigildi útkoma í hverju kasti er reiknað sem meðaltal mögulegra útkoma. Áður en tengingunum er kastað í fyrstu umferð er væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening
$$1\cdot\frac{1}{216}+2\cdot\frac{7}{216}+3\cdot\frac{19}{216}+4\cdot\frac{37}{216}+5\cdot\frac{61}{216}+6\cdot\frac{91}{216}=\frac{1071}{216}=4,9583$$.
Eftir fyrsta kastið eru tvær umferðir eftir og væntigildi útkomu fyrir sérhvern tening er reiknað á sama hátt og áður
$$1\cdot\frac{1}{36}+2\cdot\frac{3}{36}+3\cdot\frac{5}{36}+4\cdot\frac{7}{36}+5\cdot\frac{9}{36}+6\cdot\frac{11}{36}=\frac{21}{6}=4,4722$$.
Þegar eitt kast er eftir eru jafnar líkur á öllum hliðum og væntigildið er því
$$1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3,5$$.
Nú er leikáætlunin valin þannig að væntigildi sé hámarkað í hverri umferð. Niðurstaðan er að eftir fyrstu umferðina ætti leikmaður að halda fimmum og sexum vegna þess að þær eru hærri en 4,4722, sem er vænt útkoma ef kastað væri aftur. Eftir aðra umferð ætti að halda fjörkum, fimmum og sexum vegna þess að vænt útkoma í þriðja kastinu er 3,5.
Rétt er að nefna að aðstæður hverju sinni kunna að réttlæta aukna áhættusækni. Ef vinna þarf upp naumt forskot keppinautar má setja þröskuldinn ofar, jafnvel þótt að lækki væntigildi mögulegra útkoma í leiknum.
Vefurinn XtraMath.org er gagnlegt tól til að hjálpa börnum að bæta grundvallarfærni í stærðfræði. Foreldrar og forráðamenn geta stofnað aðgang fyrir börn sín og einnig geta kennarar stofnað aðgang fyrir bekkjadeildir sínar. Aðgangur er gjaldfrjáls en vefurinn reiðir sig á frjáls fjárframlög.
Við kynntumst Xtramath í gegnum bekkjarkennara yngri dóttur okkar, sem sendi aðgangslykil heim snemma á skólaárinu. Með því móti geta bæði foreldrar og kennarar fylgst með framgangi nemandans.
Á yngsta stigi er læra nemendur grundvallaratriði í samlagningu og þegar á líður er hægt að skipta um áætlun. Eldri börn geta tileinkað sér frádrátt, margföldun og deilingu í sömu umgjörð.
Hver lota skiptist í þrjá eða fleiri hluta þar sem ýmist er rifjað upp eða att kappi við tölvuna í gervi kennarans. Takmarkið er að nemandinn geti svarað án umhugsunar eða með því að telja á fingrum sér.
Í viðmóti foreldra og kennara er hægt að fylgjast með framgangi nemanda og sjá niðurbrot á árangri í sérhverri lotu. Þegar nemanda verður tamt að svara dæmum, sem liggja fyrir hverju sinni, er þyngri spurningum bætt við.
Það er óhætt að mæla með XtraMath.org fyrir foreldra og forráðamenn sem vilja efla stærðfræðikunnáttu barna sinna.
Mynd frá mathisfun.com.
Í klassíska jólalaginu The Twelve Day of Christmas er sungið um gjafir sem viðtakanda berast um jólahátíðina frá þeim sem honum ann. Í íslensku útgáfunni nýtur flytjandinn gjafmildi Jónasar í þá þrettán daga, sem jólahátíðin varir. Vafalaust hafa fjölmörg textaafbrigði verið sungin við lagið, s.s. hinn óheflaði flutningur Spírabræðra sem hægt er að finna á netinu.
Fyrst dagin sendi Jónas páfugl. Annan daginn sendi hann páfugl og tvær dúfur og svo koll af kolli. Fjöldi gjafa vex hvern dag og á j-ta degi jóla eru gjafirnar
$$! \sum_{i=1}^{j} i = 1 + 2 + … + (j-1) + j = \frac{j (j+1)}{2}$$
Hvað sendir Jónas margar gjafir yfir jólahátíðina?
Formúluna má leiða út á nokkra vegu eins og John D. Cook gerir grein fyrir á sínu bloggi. Fjöldi gjafa fyrstu n daga jólahátíðarinnar eru
$$!\sum_{j=1}^{n} \frac{j (j+1)}{2}=\frac{n (n+1) (n+2)}{6}$$
Þegar gjafaflóðið varir í 12 daga eru gjafirnar 12 · 13 · 14 / 6 = 364. Í íslensku útgáfunni færir Jónas fimmfaldan hring en í ensku útgáfunni er sungið um fimm gyllta hringi. Ef við skautum fram hjá þessu ósamræmi í þýðingu textans og teljum hringina fimm fáum við út að hinn gjafmildi Jónas færði 13 · 14 · 15 / 6 = 455 gjafir á þrettán dögum.
Actuary.is óskar lesendum gleðilegra jóla!
Í fyrri færslu var fjallað um nýútkomnar auglýsingar Samtaka atvinnulífsins um verðlag, laun og kaupmátt á Íslandi og samanburð þeirra við hin Norðurlöndin. Það er ástæðulaust að endurtaka of mikið af því sem þar kom fram en hér verður lagst í samanburð við eitt landanna; Svíþjóð.
Laun í Svíþjóð (efri) og ársbreyting þeirra (neðri). Heimild: Statistiska Centralbyrån.
Á vef Hagstofu Svíþjóðar, Statistiska Centralbyrån, scb.se, eru til samfelldar skráningar um laun fyrir fullt starf í iðnaðar- og framleiðslustörfum á almennum vinnumarkaði. Þau ná aftur til 1975 og ættu að vera ágæt nálgun á launaþróun í Svíþjóð í samanburði við launavísitölu Hagstofu Íslands.
Í tvo áratugi frá 1975 hækkuðu laun í Svíþjóð að meðaltali um 7,5 prósent að meðaltali á ári en eftir það hafa þau hækkað um 4,0 prósent að jafnaði. Launaþróuninni er lýst á myndinni hér til hægri þar sem gildið hefur verið stillt við 100 árið 1995. Neðra ritið sýnir árlegar hlutfallsbreytingar.
Vísitala neysluverðs í Svíþjóð (efri) og árleg hlutfallsbreyting (neðri). Heimild: Statistiska Centralbyrån.
Hagstofa Svíþjóðar mælir vísitölu neysluverðs eins og sú íslenska. Á línuritinu hérna til vinstri má sjá þróunina frá 1975. Sem fyrr lýsir efri myndin vísitölunni og sú neðri táknar hlutfallsbreytingu frá fyrra ári á hverjum tíma.
Á tímabilinu frá 1975 til 1995 mældist meðalverðbólga í Svíþjóð 7,5%. Fimm af fyrstu tíu árunum mældist verðbólga yfir 10%. Eftir 1995 hefur verðbólga í Svíþjóð verið um 1,3% að meðaltali á ári.
Þróun kaupmáttar launa í Svíþjóð (efri) og árleg hlutfallsbreyting (neðri). Heimild: Statistiska Centralbyrån.
Þrátt fyrir verulegar launahækkanir á fyrri hluta tímabilsins héldu þær ekki í við verðlag svo að það dró úr kaupmætti nær samfellt í tíu ár. Samkvæmt línuritinu var kaupmáttur lægstur árið 1983 og hafði þá lækkað um átján prósent á átta árum.
Í áratug frá 1983 til 1993 jókst kaupmáttur samtals um tæplega níu prósent en hafði þó ekki náð fyrra gildi. Öll ár frá 1993 hefur kaupmáttur launa í Svíþjóð aukist samkvæmt þessum gögnum.
Til þess að skoða þróunina á Íslandi og í Svíþjóð í samhengi hafa vísitölur neysluverðs og launa verið teiknaðar á eina mynd, sem sýnd er hér á eftir. Allar mætast þær í gildinu 100 árið 1995.
Þróun launa og verðlags á Íslandi og í Svíþjóð. Heimildir: Hagstofa Íslands og Statistiska Centralbyrån.
Eins og fram kom í fyrri færslu jókst kaupmáttur launa á Íslandi öll ár frá 1995 til 2007. Á þessum tíma hækkuðu laun á Íslandi um 130% sé miðað við launavísitölu Hagstofu Íslands og verðlag hækkaði um 58%. Það jafngildir 45% kaupmáttaraukningu.
Á sama árabili hækkuðu laun í Svíþjóð um 65% samkvæmt gögnum sænsku stofnunarinnar en verðlag um 14%. Það skilaði jafn mikilli kaupmáttaraukningu eða 45%! Síðan þá hefur kaupmáttur launa í Svíþjóð vaxið um 10% en dregist saman um 9% á Íslandi.
Í síðustu færslu var sýnt samband launahækkana og kaupmáttaraukningar. Ef til vill hefði mátt orða niðurstöðurnar skýrar en greina mátti að háar launahækkanir drógu úr kaupmætti til lengri tíma. Þar var nefnt að mörk hækkana gætu legið á bilinu fjögur til sex prósent. Hækki laun umfram það er líklegt að það hafi neikvæð áhrif á kaupmátt til lengri tíma.
Sér í lagi mátti greina þau áhrif á öðru og þriðja ári eftir mikla hækkun launa. Þetta rímar ágætlega við lögmál í hagfræði um að launahækkanir umfram framleiðniaukningu leiði til aukinnar verðbólgu, sem dregur úr kaupmætti.
Fyrri greining byggði aðeins á gögnum frá Íslandi yfir tveggja áratuga tímabil en með því að bæta við gögnum frá Svíþjóð yfir lengra tímabili lætur nærri að gagnamengið þrefaldist. Það bætir matið á áhrifum þessa sambands, ef rétt reynist.
Myndin hér fyrir neðan sýnir samband launahækkana og breytingar á kaupmætti í báðum löndum fyrir öll skráð ár. Efst til vinstri er sýnt samband launahækkana og kaupmáttaraukningar á því ári sem hún fellur til. Myndin efst til hægri sýnir breytingu kaupmáttar miðað við launabreytingu fyrra árs. Neðri myndirnar sýna breytingarnar tveimur og þremur árum eftir að laun hækka.
Samband breytinga á vísitölu launa og vísitölu kaupmáttar. Efri myndin til vinstri lýsir sambandi kaupmáttar sama ár og launabreyting. Myndin uppi til hægri lýsir breytingu kaupmáttar og launabreytingar ári áður. Myndirnar í neðri röð lýsa breytingu kaupmáttar tveimur og þremur árum síðar. Heimild: Hagstofa Íslands og Statistiska centralbyrån..
Bláu punktarnir lýsa sambandi launahækkana og kaupmáttar á Íslandi. Rauðu punktarnir lýsa sambandinu í Svíþjóð fyrir árið 1995 og grænu punktarnir 1996 og síðar. Á þremur síðasttöldu myndunum má sjá að fylgnin er neikvæð fyrir mikla hækkun launa. Það kann að vera matsatriði hvar þjálguðu (smoothed) ferlarnir byrja að sveigja niður á við. Álykta má að það geti verið við 4-6% mörkin.
Áhrif breytinga á gengi gjaldmiðils má skoða með sama hætti. Hér er miðað við krossgengi íslensku og sænsku krónunnar gagnvart Bandaríkjadal og breytingu frá einu ári til annars. Breytingar á gengi íslensku krónunnar hafa meiri áhrif á verðlag á Íslandi en gengi sænsku krónunnar hefur á verðlag í Svíþjóð.
Myndirnar hér fyrir neðan sýna samband kaupmáttarbreytinga og gengissveiflna milli ára. Efst til vinstri eru sýnd áhrif gengisbreytinga á kaupmátt sama ár og gengisbreyting á sér stað. Næsta mynd sýnir áhrif á kaupmátt ári síðar og svo koll af kolli.
Samband breytinga á gengi gjaldmiðils og kaupmáttar. Efri myndin til vinstri lýsir sambandi kaupmáttar sama ár og launabreyting. Myndin uppi til hægri lýsir breytingu kaupmáttar og launabreytingar ári áður. Myndirnar í neðri röð lýsa breytingu kaupmáttar tveimur og þremur árum síðar. Heimildir: Hagstofa Íslands og Hagstofa Svíþjóðar.
Augljóst er að mikil gengislækkun hefur áhrif á kaupmátt. Þ.e. falli gengi gjaldmiðilsins umfram 10% þá er fylgnin neikvæð. Áhrifin koma fram sama ár og að litlum hluta ári síðar. Áhugavert er að áhrifin eru ekki samhverf, þ.e. styrkist gengi gjaldmiðilsins umfram 10% þá eykur það ekki kaupmátt í jafn miklum mæli gengisfall dregur úr honum hann.
Þessar ályktanir eru notaðar til þess að stilla upp línulegu aðhvarfsgreiningarlíkani, sem metur áhrif launahækkana og gengisbreytinga á kaupmátt. Frumbreytur líkansins eru:
Í stuttu máli benda stuðlar endanlegs líkans til eftirfarandi niðurstöðu (marktækni stuðla er táknuð með merkingum innan sviga):
Samkvæmt þessu einfaldaða líkani yrði ábati af 2% launahækkun 1,3% aukning kaupmáttar. Fimm prósent launahækkun gæti að skilað 3,25% kaupmáttaraukningu. Hækki laun umfram það rýrnar kaupmáttur til lengri tíma. Til dæmis mætti áætla að hækki laun um 7% þá leiddi það aðeins til 1,45% varanlegrar kaupmáttaraukningar.