Námskeið í tölfræðigreiningu

Vefurinn Coursera.org býður upp fjölbreytt úrval námskeiða í samstarfi við marga af fremstu háskólum heims. Það er einfalt að stofna aðgang að síðunni og skrá sig inn í námskeið. Ekki er síður vert að nefna að þátttaka í námskeiðum er ókeypis. Þetta er kjörið tækifæri fyrir þá sem fýsir í að kafa dýpra í efni á sínu sviði eða til að rifja upp. Þá er alltaf ögrun í að læra eitthvað nýtt ef það er í boði. Lengd námskeiða er breytileg en algengt að þau spanni á bilinu fimm til tíu vikur

Á morgun, þriðjudaginn 22. janúar, hefst áhugavert námskeið í gagnagreiningu (Data Analysis). Fyrirlesari er Jeff Leek, prófessor í líftölfræði við John Hopkins Bloomberg háskólann í lýðheilsufræðum. Samkvæmt námskeiðslýsingu á námskeiðið að hjálpa nemendum að beita aðferðum í tölfræði og nota til þess R-hugbúnaðinn.

Vonandi höfðar þetta námskeið eða önnur til einhvers, sem les þessar línur. Svo lengi lærir sem lifir.

Poisson líkindadreifingin

Í fyrri færslu um líkindadreifingar var fjallað um stakrænar og samfelldar dreifingar. Þar var rakið að í tjónalíkönum má nota stakrænar dreifingar til þess að tákna tíðni tjóna en samfelldar dreifingar til að tákna stærðargráðu hvers tjóns. Útkomur stakrænna dreifinga eru heilar tölur, þ.e. 0, 1, 2, 3, o.s.frv. en útkomur samfelldra dreifinga allar rauntölur. Fyrir tjónalíkön takmörkum við valið við samfelldar dreifingar með útkomur stærri en núll.

Stikar líkindadreifinganna lýsa stærð og lögun líkindadreifi- og líkindaþéttifallanna. Þá sýnir yfirlitið, sem fylgdi í fyrri færslu, ýmsar gagnlegar stærðir hverrar dreifingar, t.d. væntigildi og staðalfrávik. Væntigildi líkindadreifingarinnar lýsir meðalútkomu og staðalfrávik er mælikvarði á frávik frá meðalútkomunni.

Dæmi um stakræna líkindadreifingu er Poisson dreifingin, sem notar stikann $$\lambda$$ (gríska bókstafinn lambda). Stikinn $$\lambda$$ lýsir hvort tveggja meðaltali og ferviki (staðalfráviki í öðru veldi) Poisson dreifingarinnar. Útkomurnar eru heilar tölur stærri en eða jafnar núlli og má nota til þess að tákna fjölda atburða á sérhverju tímabili. Samkvæmt líkindafallinu eru líkur á k atburðum jafnar

$$p_k = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$.

Þ.e.a.s. líkurnar á útkomunni núll og þar með engum atburði eru $$e^{-\lambda}$$, líkur á einum atburði eru $$e^{-\lambda} \lambda$$, líkur á tveimur atburðum eru $$\frac{1}{2}e^{-\lambda} \lambda^2$$, líkur á þremur atburðum eru $$\frac{1}{6}e^{-\lambda} \lambda^3$$, o.s.frv. Mynstrið er þekkt.

Líkindafall Poisson dreifinga

Hugsum okkur dæmi um tryggingafélag, sem flokkar ökumenn þrjá áhættuflokka: lægsta, miðlungs og hæsta. Félagið notar Poisson líkindadreifinguna til þess að tákna tjónatíðni þeirra. Það hefur fundið út að viðskiptavinir í lægsta áhættuflokki valdi að jafnaði 0,1 tjóni á ári pr. ökumann en 0,4 tjón á ári pr. ökumann í miðlungs áhættuflokki og 0,7 tjón að jafnaði í þeim hæsta. Með því að setja stuðlana inn í jöfnurnar fyrir ofan má finna líkindi á fjölda tjóna, sem ökumaður í hverjum flokki veldur. Niðurstaðan er sýnd í meðfylgjandi töflu og líkindafallið er sýnt á myndinni til hægri.

Fjöldi	Áhættuflokkur
tjóna	Lægsti, $$\lambda=0,1$$	Miðlungs, $$\lambda=0,4$$	Hæsti, $$\lambda=0,7$$
0	0.905	0.670	0.497
1	0.090	0.268	0.348
2	0.005	0.054	0.122
3	<0.001	0.007	0.028

Um meðalverðsútreikninga

Gefum okkur að tvö fyrirtæki, A og B, selji fisk. Fyrirtæki A selur 99 kg á 100 kr/kg fyrir samtals fyrir 9.900 krónur. Fyrirtæki B selur eitt kíló á 900 kr pr. kíló.

Einfalt meðaltal einingaverða.

Hér væri hægt að hrapa að þeirri niðurstöðu að meðalverð í viðskiptunum hefði verið 500 krónur pr. kg, eða

$$\frac{100\text{ kr/kg} + 900\text{ kr/kg}}{2} = 500 \text{kr/kg}.$$

Þetta er sýnt myndrænt hérna til hægri þar sem tveimur ímynduðum kössum hefur verið komið fyrir á pallettu. Stærð kassana táknar magn í sendingu og lárétt staðsetning miðju kassanna lýsir einingaverði skv. skalanum fyrir neðan.

Þeir sem hafa vegið salt við aðra en jafnoka sína vita að pallettan á myndinni til hægri héldist ekki í jafnvægi ef græna flegnum væri komið fyrir undir henni miðri. Það hefur þó verið reynt.

Einfalt er að reikna meðalverð pr. kg í þessum viðskiptum með því að deila heildarmagni upp í heildarverðmæti. Samanlagður útflutningur fyrirtækjanna er 100 kg og samanlagðar tekjur vegna sölunnar eru kr. 10.800. Rétt niðurstaða verður 108 kr/kg, eða svona

$$\frac{10.800\text{ kr}}{100\text{ kg}} = 108 \text{kr/kg}.$$

Önnur leið að sömu niðurstöðu er að reikna vegið meðaltal einingaverðanna þar sem vogtölurnar lýsa hlutfalli hvorrar sendingar af heildarmagni, þ.e. 99% og 1%. Niðurstaðan er hin sama og áður

$$100 \text{ kr/kg} \cdot 99\% + 900 \text{ kr/kg} \cdot 1\% = 108 \text{ kr/kg}.$$

Vegið meðalverð einingaverða.

Myndin hér til vinstri sýnir dæmi með sömu pallettu. Græni fleygurinn lýsir þeim punkti þar sem pallettan helst í jafnvægi. Í eðlisfræði heitir þetta að finna massamiðju kassanna saman. Þegar fleygnum er komið fyrir undir miðpunktinum er vægi beggja kassa um snúningsásinn það sama og pallettan helst í jafnvægi.

Snemma sl. sumar vann ég greiningu að eigin frumkvæði upp úr gögnum um útflutningsverð á heilum karfa, sem komið höfðu fram vegna rannsóknar gjaldeyriseftirlits Seðlabanka Íslands á meintum brotum Samherja á lögum um gjaldeyrismál. Um greininguna var fjallað ítarlega í prentaðri útgáfu Viðskiptablaðsins og í styttra máli á vefnum.

Málið vakti aðallega áhuga minn vegna þess að himin og haf bar á milli þess, sem spurðist um ásakanir gjaldeyriseftirlitsins í fréttum, og svörum Samerja við þeim ásökunum. Í þrætum um huglæg málefni getur einum fundist eitt rétt og öðrum annað en ógjörningur er að reikna út hvor hefur á réttu að standa. Í prósentuútreikningum er jafnan ein niðurstaða rétt en hinar rangar.

Þeir sem hafa áhuga á efninu geta kynnt sér mína aðferð og niðurstöður hérna. Fylgiskjölin, sem vísað er til, eru meðal gagna gjaldeyriseftirlitsins og hægt að nálgast á heimasíðu Samherja. Seinna kom ég að vinnu sem varðaði útflutningsverð fleiri afurða og greint var frá hér og hér svo dæmi séu nefnd.

Sýni af normaldreifðu slembibreytunni

Í keppni um athygli bjóða fyrirtæki og aðrir aðilar nýjum vinum að tengjast sér í gegnum samfélagsmiðla og heita gjarnan verðlaunum til að örva aðsóknina. Af gamansemi var lofað að draga út milljón sýni af normaldreifðu slembibreytunni þegar Actuary.is næði því marki að eiga yfir eitthundrað vini á Facebook-síðunni. Það var allgóð aðsókn að vefsíðunni þegar frétta- og bloggvefir bentu á umfjöllun um nettó eigna- og skuldastöðu kynslóðanna fyrr í mánuðinum. Margir gerðust vinir síðunnar með því að smella á Like-hnappinn hér uppi til hægri. Vinir síðunnar eru núna orðnir gott betur en eitthundrað. Þeim, sem hafa komið efninu á framfæri við vini og venslafólk, er þökkuð aðstoðin við útbreiðsluna.

Öllu gamni fylgir nokkur alvara og nú er komið að efndum. Af praktískum ástæðum verða sýnin færri en milljón en í stað þess verður spyrt við umjöllunina hvernig þau eru framkölluð.

Eitt sinn var sögð saga frá árdögum tölvuútreikninga við spágerð í veðurfræði, sem kann að hafa byggt á e-s konar hermun. Það fylgdi sögunni að útreikningarnir hefðu krafist mikils reikniafls og veðrið hefði í reynd verið komið löngu á undan spánni. Með tilkomu aukins reikniafls í einkatölvum og tölvuklösum opnast ótal möguleikar. Margir þekkja möguleika með innbyggðum föllum og viðbótarpökkum í Excel töflureikninum. Þá bjóða forritunarmál eins og R-hugbúnaðurinn upp á öfluga hermunartól, sem eru þjál í notkun.

Hermun er notuð ýmsum viðfangsefnum. Í grunninn gengur hermun á því að búa til reikniverk þar sem inntakið eru óþekktar stærðir, sem við þekkjum betur sem slembibreytur. Óþekktu stærðirnar geta lýst hlutfallsbreytingu á virði verðbréfa á einum degi, fjöldi jarðsjálfta á ákveðnu tímabili eða matsfjárhæð skaða í líkams- eða eignatjóni. Einstakar útkomur slembibreytanna eru óþekktar en upplýsingar um mögulegar útkomur eru þekktar eða áætlaðar. Í þessum dæmum getur útkoman, sem við höfum áhuga á, lýst virði kaupréttar á verðbréf eða væntigildi bóta til þess sem kaupir sér tryggingu fyrir fjárskaða vegna tjóns.

Líkindafall og líkindadreififall fyrir útkomur sex hliða tengings.

Slembibreytum er lýst með líkinda-, líkindadreifi- og líkindaþéttiföllum. Einfalt dæmi er útkoman þegar sex hliða tengini er kastað. Líkindafallið táknar líkur á hverri og einni útkomu en líkindaþéttifallið táknar líkur þess að útkoman sé minni en eða jafnt og tiltekið gildi. Líkindafall og líkindaþéttifall fyrir útkomur fullkomins sex hliða tenings er sýnt á myndinni til hægri. Útkoma teningsins er dæmi um stakræna slembibreytu. Út úr líkindafallinu á efri myndinni getum við lesið að líkur á hverri og einni útkomu eru 1/6, gjarnan táknað sem 0,1667 eða 16,67%. Af neðri myndinni má lesa líkindi þess að útkoman sé lægri en eða jöfn tölunni á lárétta ásnum. Þannig eru líkurnar 0,50 eða 50% að útkoman sé lægri en eða jöfn tölunni 3 (þ.e.a.s. að útkoman sé 1, 2 eða 3).

Líkindadreififall og líkindaþéttifall normaldreifingar.

Samfelldum slembibreytum er lýst á áþekkan hátt og myndirnar til vinstri sýna líkindadreifi- og líkindaþéttifall normaldreifðu slembibreytunnar með meðaltal núll og einingastaðalfrávik. Til þess að finna líkur þess að útkoma sé að ákveðnu bili má reikna flatarmálið undir ferlinum innan þess bils. Líkur á einni einstakri útkomu eru núll. Að sama skapi sést að líkindadreififall normaldreifðu slembibreytunnar er ekki þreplaga líkt og dreififallið fyrir fullkomna teninginn. Við getum lesið af lóðrétta ás líkindadreififallsins líkur þess útkoma slembibreytunnar sé lægri eða jöfn gildinu á lárétta ásnum.

Notkun líkindadreififallsins er grunnurinn að þeirri hermunaraðferð, sem lagt er upp með hér og nefnist aðferð andhverfrar vörpunar (inverse method). Hana má nota þegar líkindadreififallið er andhverfanlegt. Aðferðin gengur út á að safna fyrst sýnum jafdreifðu slembibreytunnar og varpa þeim síðan yfir dreifinguna, sem sóst er eftir.

Hreyfimyndin hér fyrir neðan sýnir hermun tíu þúsund sýna af normaldreifðu slembibreytunni á myndrænan hátt. Við getum ímyndað okkur að fyrst rigni niður tíu þúsund sýnum, sem eru jafndreifð á bilinu 0 til 1 og við táknum það með bláu punktunum. Næst vörpum við þeim sýnum niður á talnalínu normaldreifingarinnar með því að finna skurðpunkt líkindadreififallsins við láréttra línu frá sérhverju sýni. Frá skurðpunktinum drögum við lóðrétta línu niður á talnalínu normaldreifingarinnar. Eftir vörpunina má sjá að dreifing sýnanna fellur vel að líkindaþéttifalli normaldreifingarinnar.

English summary:

Above you will find brief discussion about probability functions, probability density functions and probability distribution functions for random variables. As an example both probability function and probability distribution function are drawn for perfect dice to represent an arbitrary discrete random variable. As well, you will recognize the probability density function and probability distribution function for the normal random variable as example of frequently used discrete random variable.

The purpose of this post is to simulate ten thousand samples from the normal distribution using the inverse method. In the beginning, ten thousand samples from the uniform distribution are generated using random number generator within the R software package. Samples from the uniform distribution are represented with blue dots in the animated picture above. Each sample is transformed using the inverse of the normal probability distribution function. As the red samples stack up on top of previous samples we can recognize the shape of our imaginary pile of random numbers approximates the bell shaped probability density function for the normal random variable.

Nettó eignir og skuldir kynslóða

Nettó eignir og skuldir eftir aldursbilum. Heimild: RSK.

Í framhaldi af fyrra innleggi um eigna- og skuldstöðu kynslóða barst vefsíðunni ábending um að áhugavert væri að reikna hreina eign eða skuld hvers aldursbils. Myndin hér til hægri byggir á sömu gögnum frá Ríkisskattstjóra og sýnir nettó stöðu hvers aldursbils í árslok 2011. Heildarskuldir einstaklinga í hverju aldursbili eru dregnar frá heildareignum og táknuð með grænu súlunum til vinstri. Ef skuldirnar eru hærri en eignir er nettó skuldastaða táknuð með rauðu súlunum til hægri. Ríkisskattstjóri telur samskattaða einstaklinga með því aldursbili, sem eldri sambúðaraðilinn tilheyrir.

Nettó eignarhluti í fasteignum að frádregnum skuldum vegna þeirra árið 2011. Heimild: RSK.

Ef aðeins er tekið tillit til eignarhluta í fasteignum og skuldir vegna þeirra lítur staðan út eins og sýnt er á seinni myndinni. Í báðum myndum eru dekkri litir notaðir til þess að tákna stöðu kynslóða, sem fyrrverandi ráðherra beindi spjótum sínum að í nýlegri blaðagrein og varð tilefni til hvassra orðaskipta í fjölmiðlum og á netinu.

Fyrir neðan eru hreyfimyndir sem sýna samanlagða hreina eign eða skuld allra einstaklinga í sérhverju aldursbili fyrir öll ár frá 1994 til 2011. Fjárhæðir eru táknaðar í milljörðum króna á verðlagi hvers árs.

Þegar aðeins er tekið mið af fasteignum og skuldum vegna fasteigna hefur staðan þróast eins og sýnt er hér fyrir neðan.

Eignir og skuldir kynslóða

Í fyrri færslu var fjallað um aldurspíramíta og aldurssamsetning Íslendinga sýnd yfir tímabilið frá 1841 til 2011. Í kjölfarið vaknaði hugmynd hjá höfundi um að tákna eignir og skuldir einstaklinga eftir aldursbilum með áþekkum hætti. Þótt það tengist tryggingastærðfræði ekki með beinum hætti þá á þetta vel við. Enda er einnig markmið með þessu bloggi að túlka gögn með áhugaverðum hætti þegar því verður við komið.

Eignir og skuldir samtals 2011. Heimild: RSK.

Að sýna eignir og skuldir á þennan hátt kann sér í lagi að vera viðeigandi í ljósi umræðu, sem spratt af nýlegri blaðagrein fyrrverandi ráðherra. Í greininni vændi hann fólk á aldrinum 30 til 45 ára sem byggi á höfuðborgarsvæðinu um að hugsa helst um eigin hag en lítið annars. Aðrir voru til að taka upp hanskann fyrir kynslóðina, sem ráðherrann fyrrverandi kallaði sjálfhverfa, og benda á breytingar á nettó eignarstöðu þessa hóps í kjölfar efnahagshruns. Það er til lítils að rifja upp í smáatriðum hver sagði hvað í umræðunni sem upphófst í kjölfarið.

Fasteignir og fasteignaskuldir 2011. Heimild: RSK.

Hreyfimyndin hér fyrir neðan sýnir heildareignir og heildarskuldir einstaklinga og sambúðaraðila á hverju fimm ára aldursbili frá 1994 til 2011. Myndin til hægri sýnir stöðuna á síðasta ári. Byggt er á upplýsingum úr skattframtölum, sem finna má á vef Ríkisskattstjóra. Kynslóðin, sem styrinn stendur um, er táknuð með dekkri lit, lesendum til glöggvunar. Raunar er aldursbilið hér aðeins víðara þar eð flokkun Ríkisskattstjóra eftir fæðingarári miðast við heilan og hálfan áratug. Í gögnunum frá skattyfirvöldum eru samskattaðir taldir með því ári, sem eldri einstaklingurinn tilheyrir.

Fjárhæðir eru í milljörðum króna og sýndar á verðlagi hvers árs. Það er óþarfi að flækja framsetninguna með því að reikna öll ár til núvirðis en leyfa heldur áhrifum mikilla nafnverðshækkana á fasteignamarkaði að koma fram.

Ef aðeins eru teknar fasteignir og skuldir vegna fasteigna lítur myndin út eins og sýnt er hér á eftir. Ofar til vinstri má sjá mynd sem sýnir stöðuna í lok árs 2011.

Aldurspíramíti

Aldurspíramítar eru notaðir til þess að sýna aldursskiptingu þjóða. Hreyfimyndin hér fyrir neðan sýnir aldursskiptingu Íslendinga árlega frá 1841 til 2012 m.v. hvert fimm ára aldursbil. Upplýsingarnar eru fengnar frá Hagstofu Íslands. Bláu súlurnar til vinstri tákna fjölda karlmanna í hverju aldursbili og rauðu súlurnar til hægri lýsa fjölda kvenna. Eins og greina má hefur aldurssamsetning þjóðarinnar breyst verulega á tímabilinu.

Myndin hér fyrir neðan sýnir hlutfallsskiptingu hvers árs. Í upphafi tímabilsins er píramítinn þríhyrningslaga, þ.e. fjöldi einstaklinga í hverju bili lækkar með hækkandi aldri. Raunar má segja að sú lögun hafi nokkurn vegin haldist frá 1841 og þar til um 1950 er fæðingartíðni jókst verulega. Eftir 1970 lækkaði fæðingartíðni aftur og hefur staðið nokkuð jöfn frá því um miðjan níunda áratug síðustu aldar. Í dag munar ekki miklu á yngstu ellefu aldurshópunum, þ.e. fjölda þeirra sem falla í hvert fimm ára aldursbil frá nýburum til 55 ára aldurs.

Áhugasamir geta stoppað myndirnar með því að hægrismella á þær og taka hakið úr Play eða hindra endurtekningu með því að taka hakið úr Loop.

Hækkun lífeyrisaldurs

Í þessari frétt á mbl.is frá því í síðustu viku er greint í mjög stuttu máli frá hugmynd nefndar um jöfnun lífeyrisréttinda um hækkun lífeyrisaldurs úr 67 ár í 70. Þá er greint frá því að nefndin sé að skoða hvaða möguleikar séu færir til þess að lífeyrissjóðir geti greitt sem nemur 76% af ævitekjum til þess, sem greiðir í 40 ár í lífeyrissjóð. Í ljósi þess er áhugavert að skoða þróun lífslíkna Íslendinga síðustu áratugina og hvaða áhrif lengri lífaldur hefur á iðgjaldagreiðslur miðað við óbreyttan lífeyrisaldur.

Þróun lífslíkna karla og kvenna 1971-2010

Þróun lífslíkna karla og kvenna 1971 til 2010. Heimild: Hagstofa Íslands

Myndin hérna til hægri byggir á gögnum frá Hagstofu Íslands og sýnir lífslíkur karla og kvenna á hverju fimm ára tímabili frá 1971 til 2010. Ferlarnir tákna hlutfall eftirlifenda á hverjum aldri (survival function) miðað við þá sem fæddir voru. Í byrjun er 100% mannfjöldans á lífi en þeim fækkar eftir því sem líður á. Við 100 ára aldur eru fáir eftirlifendur.

Ljósu ferlarnir svara til fyrstu tímabilanna en síðari tímabil eru teiknuð með dekkri línunum.

Þessi gögn eru notuð til þess að meta núvirði greiðslna, sem sjóðsfélagi greiðir í lífeyrissjóð, sem og núvirði væntra lífeyrisgreiðslna. Þær upplýsingar eru notaðar til þess að ákvarða iðgjald lífeyristryggingarinnar sem hlutfall af launum. Eins og lýst er í fréttinni er gengið út frá því að sjóðsfélagar greiði iðgjöld frá 27 ára aldri til 67 ára aldurs eða á meðan þeir er á lífi. Þeir sem ná að hefja töku lífeyris þiggja 76% af launum til æviloka. Hér er einungis verið að bera saman áhrif hækkaðs lífaldurs og því ekki gert ráð fyrir öðrum þáttum, s.s. örorkubótum, launabreytingum á starfsævinni eða kostnaði við rekstur kerfisins.

Iðgjald lífeyristrygginga 1971-2010 sem hlutfall af launum m.v. að greitt sé frá 27 ára aldri til 67 ára þegar taka lífeyris hefst. Lífeyrisgreiðslur eru 76% af launum.

Myndin til vinstri sýnir iðgjald sem hlutfall af launum miðað við lífslíkur karla og kvenna á hverju tímabili. Verð lífeyristryggingar er reiknað sem hlutfall núvirðis lífeyrisgreiðslna deilt með núvirði iðgjalda. Sökum væntinga um lengri ævi er hlutfallið hærra fyrir konur en karla. Ljóst er að hækkaður lífaldur kallar á hækkun iðgjalda til að tryggja óbreytt hlutfall lífeyrisgreiðslna. Árin 1971-1975 hefðu iðgjöld karla átt að vera 7,5% launa samanborið við 10% á árunum 2005-2010. Hjá konum hefði hlutfallið þurft að vera 9,5% í byrjun en 11,3% í lokin.

Gera verður fyrirvara um að þessir útreikningar byggja á dánarlíkum hvers árabils en ekki spá um dánarlíkur í framtíðinni. Ennfremur er rétt að hnykkja á þeim fyrirvara að útreikningarnir taka ekki tekið tillit til annarra bóta, sem greiddar eru úr samtryggingarkerfinu, eða rekstrarkostnaðar.

Safn líkindadreifinga

Meðfylgjandi er að finna yfirlit yfir nokkrar gagnlegar líkindadreifingar, sem nota má í tjónalíkönum. Meira verður fjallað um líkindadreifingar síðar en þær skiptast í tvo hópa; stakrænar og samfelldar en þær geta einnig verið blanda af hvoru. Í skjalinu má finna margar gagnlegar stærðir sem lýsa dreifingunum, s.s. meðaltal, og fervik. Þá fylgir listi yfir föll í forritunarmálinu R sem nota má til þess að herma sýni af sérhverri dreifingu.

Sýni stakrænna líkindadreifinga geta aðeins verið heilar tölur og þær má nota til að tákna tíðni atvika, s.s. fjölda árekstra sem ökumaður lendir í á einu ári o.s.frv. Dæmi um stakræna líkindadreifingu er Poisson dreifingin og líkindaþéttifall (líkindafall) dreifingarinnar er sýnt hér til hægri. Stærð hverrar súlu táknar líkur á tilsvarandi útkomu.

Samfelldar líkindadreifingar geta tekið tekið óendanlega mörg gildi á bilinu, sem myndmengi þeirra spannar. Í tjónum er skaðinn alltaf stærri en núll, líkt og líkja má eftir með lognormal líkindadreifingunni hérna til vinstri. Hægt er að reikna líkur þess að útkoman sé á tilteknu bili með því að reikna flatarmálið undir ferlinum innan þess svæðis sem við á.

English summary: Attached is a list of frequently used probability distributions in loss models.

Notkun R forritunarmálsins

Þeir sem þekkja til R forritunarmálsins vita að það er eftir ýmsu því tengdu að slæðast á netinu. Síðustu árin hefur verið veldisvöxtur í fjölda pakka, sem notendur geta nálgast frítt. Bæði byrjendur og lengra komnir geta haft gagn og gaman af þessari kynningu Jim Guszcza á notkun R í ýmsum viðfangsefnum tengdum tryggingastærðfræði. Það er vel þess virði að horfa á.

Ég kynntist Jim síðasta vetur þegar hann var prófessor í tryggingastærðfræði við University of Wisconsin-Madison þar sem ég tók námskeið hjá honum. Þar byrjaði ég að nota R í fyrsta sinn sem bætti miklu við hagnýtingu námsefnisins.

Those who are familiar with the R programming language know the near endless resources available online. In recent years, the number of free libraries has grown exponentially. Beginners and advanced programmers can enjoy and learn from this presentation given by Jim Guszcza on actuarial applications using R. I guarantee it is worth watching.

It was my privilege to sit Jim’s class on loss models during my studies at the University of Wisconsin-Madison last year. His extensive use of R added a lot to the practical aspects of the course material.

httpv://www.youtube.com/watch?v=yWexhOmkVKU

Hagur

tryggingastærðfræði og slembin innskot