Í keppni um athygli bjóða fyrirtæki og aðrir aðilar nýjum vinum að tengjast sér í gegnum samfélagsmiðla og heita gjarnan verðlaunum til að örva aðsóknina. Af gamansemi var lofað að draga út milljón sýni af normaldreifðu slembibreytunni þegar Actuary.is næði því marki að eiga yfir eitthundrað vini á Facebook-síðunni. Það var allgóð aðsókn að vefsíðunni þegar frétta- og bloggvefir bentu á umfjöllun um nettó eigna- og skuldastöðu kynslóðanna fyrr í mánuðinum. Margir gerðust vinir síðunnar með því að smella á Like-hnappinn hér uppi til hægri. Vinir síðunnar eru núna orðnir gott betur en eitthundrað. Þeim, sem hafa komið efninu á framfæri við vini og venslafólk, er þökkuð aðstoðin við útbreiðsluna.

Öllu gamni fylgir nokkur alvara og nú er komið að efndum. Af praktískum ástæðum verða sýnin færri en milljón en í stað þess verður spyrt við umjöllunina hvernig þau eru framkölluð.

Eitt sinn var sögð saga frá árdögum tölvuútreikninga við spágerð í veðurfræði, sem kann að hafa byggt á e-s konar hermun. Það fylgdi sögunni að útreikningarnir hefðu krafist mikils reikniafls og veðrið hefði í reynd verið komið löngu á undan spánni. Með tilkomu aukins reikniafls í einkatölvum og tölvuklösum opnast ótal möguleikar. Margir þekkja möguleika með innbyggðum föllum og viðbótarpökkum í Excel töflureikninum. Þá bjóða forritunarmál eins og R-hugbúnaðurinn upp á öfluga hermunartól, sem eru þjál í notkun.

Hermun er notuð ýmsum viðfangsefnum. Í grunninn gengur hermun á því að búa til reikniverk þar sem inntakið eru óþekktar stærðir, sem við þekkjum betur sem slembibreytur. Óþekktu stærðirnar geta lýst hlutfallsbreytingu á virði verðbréfa á einum degi, fjöldi jarðsjálfta á ákveðnu tímabili eða matsfjárhæð skaða í líkams- eða eignatjóni. Einstakar útkomur slembibreytanna eru óþekktar en upplýsingar um mögulegar útkomur eru þekktar eða áætlaðar. Í þessum dæmum getur útkoman, sem við höfum áhuga á, lýst virði kaupréttar á verðbréf eða væntigildi bóta til þess sem kaupir sér tryggingu fyrir fjárskaða vegna tjóns.

Slembibreytum er lýst með líkinda-, líkindadreifi- og líkindaþéttiföllum. Einfalt dæmi er útkoman þegar sex hliða tengini er kastað. Líkindafallið táknar líkur á hverri og einni útkomu en líkindaþéttifallið táknar líkur þess að útkoman sé minni en eða jafnt og tiltekið gildi. Líkindafall og líkindaþéttifall fyrir útkomur fullkomins sex hliða tenings er sýnt á myndinni til hægri. Útkoma teningsins er dæmi um stakræna slembibreytu. Út úr líkindafallinu á efri myndinni getum við lesið að líkur á hverri og einni útkomu eru 1/6, gjarnan táknað sem 0,1667 eða 16,67%. Af neðri myndinni má lesa líkindi þess að útkoman sé lægri en eða jöfn tölunni á lárétta ásnum.  Þannig eru líkurnar 0,50 eða 50% að útkoman sé lægri en eða jöfn tölunni 3 (þ.e.a.s. að útkoman sé 1, 2 eða 3).

Samfelldum slembibreytum er lýst á áþekkan hátt og myndirnar til vinstri sýna líkindadreifi- og líkindaþéttifall normaldreifðu slembibreytunnar með meðaltal núll og einingastaðalfrávik. Til þess að finna líkur þess að útkoma sé að ákveðnu bili má reikna flatarmálið undir ferlinum innan þess bils. Líkur á einni einstakri útkomu eru núll. Að sama skapi sést að líkindadreififall normaldreifðu slembibreytunnar er ekki þreplaga líkt og dreififallið fyrir fullkomna teninginn. Við getum lesið af lóðrétta ás líkindadreififallsins líkur þess útkoma slembibreytunnar sé lægri eða jöfn gildinu á lárétta ásnum.

Notkun líkindadreififallsins er grunnurinn að þeirri hermunaraðferð, sem lagt er upp með hér og nefnist aðferð andhverfrar vörpunar (inverse method). Hana má nota þegar líkindadreififallið er andhverfanlegt. Aðferðin gengur út á að safna fyrst sýnum jafdreifðu slembibreytunnar og varpa þeim síðan yfir dreifinguna, sem sóst er eftir.

Hreyfimyndin hér fyrir neðan sýnir hermun tíu þúsund sýna af normaldreifðu slembibreytunni á myndrænan hátt. Við getum ímyndað okkur að fyrst rigni niður tíu þúsund sýnum, sem eru jafndreifð á bilinu 0 til 1 og við táknum það með bláu punktunum. Næst vörpum við þeim sýnum niður á talnalínu normaldreifingarinnar með því að finna skurðpunkt líkindadreififallsins við láréttra línu frá sérhverju sýni. Frá skurðpunktinum drögum við lóðrétta línu niður á talnalínu normaldreifingarinnar. Eftir vörpunina má sjá að dreifing sýnanna fellur vel að líkindaþéttifalli normaldreifingarinnar.

English summary:

Above you will find brief discussion about probability functions, probability density functions and probability distribution functions for random variables. As an example both probability function and probability distribution function are drawn for perfect dice to represent an arbitrary discrete random variable. As well, you will recognize the probability density function and probability distribution function for the normal random variable as example of frequently used discrete random variable.

The purpose of this post is to simulate ten thousand samples from the normal distribution using the inverse method. In the beginning, ten thousand samples from the uniform distribution are generated using random number generator within the R software package. Samples from the uniform distribution are represented with blue dots in the animated picture above. Each sample is transformed using the inverse of the normal probability distribution function. As the red samples stack up on top of previous samples we can recognize the shape of our imaginary pile of random numbers approximates the bell shaped probability density function for the normal random variable.